天津学大教育信息咨询有限公司七年级数学下册-8.3-实际问题与二元一次方程组教案-(新版)新人教版

实际问题与二元一次方程组知识点1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤2、利用二元一次方程组解决实际问题的方法3、注意计算结果符合实际意义教学目标1、使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，2、通过应用题教学使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性。教学重点能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；教学难点正确发找出问题中的两个等量关系教学过程一、课堂导入1、二元一次方程组的概念2、利用代入消元或者加减消元法解二元一次方程组3、利用二元一次方程组解决实际问题二、复习预习列方程解应用题的步骤是什么？审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答学会找到问题：1题中有哪些已知量？哪些未知量？2题中等量关系有哪些？3如何解这个应用题？三、知识讲解考点/易错点1利用二元一次方程组解决实际问题时，一般可分为以下五步：1、审题、弄清题意及题目中的数量关系2、设未知数，可直接设元，也可间接设元3、列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组4、解所列方程组，并考虑所得解是否符合问题的实际意义5、写出答案考点/易错点2解实际应用问题必须写“答”，并且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。考点/易错点3“设”答“两步，都要写清单位名称；一般来说，设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组。四、例题精析【例题1】【题干】市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成. （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x46，y52，求甲、乙两队各做了多少天？【答案】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得 ，解之得x=80.经检验x=80是原方程的解.答：乙工程队单独做需要80天完成 （2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天， 所以，即，又x46，y52 所以，解之得42x46， 因为x、y均为正整数，所以x=45，y=50答：甲队做了45天，乙队做了50天【解析】根据已知条件建立等量关系解决问题，注意考虑实际意义【例题2】【题干】某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？【答案】设安排x人生产A部件，安排y人生产B部件，由题意，得，解得：答：设安排6人生产A部件，安排10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套【解析】根据已知条件找到工人和部件的对应关系进行列式计算【例题3】【题干】已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费【答案】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：，答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，a=a、b都是正整数或或答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；x k b 1 . c o m方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆（3）A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，方案一需租金：9100+1120=1020（元）方案二需租金：5100+4120=980（元）方案三需租金：1100+7120=940（元）1020980940最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元【解析】根据已知条件找到等量关系解决问题，方案问题中结合不等式的知识解决问题，注意方案的合理性。【例题4】【题干】如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地已知公路运价为1.5元/（吨?千米），铁路运价为1.2元/（吨?千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【答案】【解析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程1.5x+B地到长青化工厂的公路里程1.5y=这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程1.2y=这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解集得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数； （2）由第一问求出的原料吨数每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和，即可求出所求的结果【例题5】【题干】某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件（1）求这两种商品的进价（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得，解得：答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100m）件，由题意，得，解得：29m32m为整数，m=30，31，32，故有三种进货方案：方案1，甲种商品30件，乙商品70件，方案2，甲种商品31件，乙商品69件，方案3，甲种商品32件，乙商品68件，设利润为W元，由题意，得W=40m+50（100m），=10m+5000k=100，W随m的增大而减小，m=30时，W最大=4700【解析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这两个方程构成方程组求出其解既可以；（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100m）件，根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货方案，设利润为W元，根据利润=售价进价建立解析式就可以求出结论【例题6】【题干】某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同（1）两种跳绳的单价各是多少元？（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？【答案】（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元由题意得：解得：所以长跳绳单价是20元，短跳绳的单价是8元（2）设学校购买a条长跳绳，由题意得：解得：a为正整数，a的整数值为29，3，31，32，33所以学校共有5种购买方案可供选择【解析】（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元；购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可；（2）设学校购买a条长跳绳，购买资金不超过2000元，短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，可得出不等式组，解出即可【例题7】【题干】 甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？【答案】设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组解这个方程组，得:.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.【解析】画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程.(2)有两个等量关系： 相向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程160千米; 同向而行：汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程.【例题8】【题干】某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑。经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需8万元。（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的资金不超过元，并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的3倍。该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？【答案】（1）方法一：构造方程组：设购买一台笔记本电脑需x元，购买1块电子白板和需y元，所以得到方程组，解得x=4000,y=15000,所以购买买一台笔记本电脑需4000元，购买1块电子白板和需15000元，方法二：构造一元一次方程（2）设购买电子白板z台，所以笔记本电脑台数是（396z）台，所以得出不等式组，解得：，z是正整数，z的正整数值是99、100、101，（396z）的值分别是297、296、295，该校有3种购买方案：方案一：即是购买电子白板与电脑分别是297与99，方案二：即是购买电子白板与电脑分别是296与100，方案三：即是购买电子白板与电脑分别是295与101，（3）方法一：直接判断最少的方案：上面的购买方案最省钱的方案是总数是396的情况下，购买电子白板最少的情况，因此是方案三：即是购买电子白板与电脑分别是295与101，最省钱方案购买需要钱数是：150003964000101=（元），方法二：分别计算，比较数额大小；方法三：运用一次函数性质，确定最少的方案：【解析】根据题目信息，构造方程组或者是不等式组确定未知数的解，以及范围，注意题目中的未知数个数是正整数的条件，确定所有可能的方案，寻找最少，方法多种，可以从两种商品总个数一定，396个，两种商品价位大小差别，找出最少的方案，也可以运用一次函数的性质，进行确定，再者，当所有方案个数不多时，可以分别计算，再进行比较【例题9】【题干】长沙市某公园的门票价格如下表所示：购票人数150人51100人100人以上票价10元/人8元/人5元/人某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲、乙两班分别有多少人?【答案】甲班55人，乙班48人【解析】试题分析：先设未知数，设甲班人数x人，乙班人数y人，由门票价格和甲乙班人数建立等量关系，人数乘以对应的门票价格是票价，当两个班合起来买团体票时的总价钱为5（x+y）=515，分开买时，是8x+10y=920，建立二元一次方程组求解设甲班x人，乙班y人，由题意建立二元一次方程组：，解得：，甲班55人，乙班48人【例题10】【题干】我校八年级实行小班教学，若每间教