导数02-导数中的参数问题(有答案)

专题专题 02导数中的参数问题导数中的参数问题 【题型综述题型综述】 导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或 取值范围”。这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题 中出现，属于压轴常见题型。学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要 介绍分类讨论法和分离参数法。 一分离参数法 分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式 的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第 2 种情形） ，从而消除参数的影响，把含参问题转化 为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离。 1形如 af xg x或 af xg x(其中 f x符号确定) 该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调 性或图像问题。 例 1已知函数 lnsinf xxax在区间, 6 4 上是单调增函数，则实数a的取值范围为() A. 4 3 , B. 4 2 , C. 4 2 4 3 , D. 4 2 , 【思路引导】已知函数 f x在固定区间上的单调性，先转化为 11 cos0cosfxaxax xx 在固 定区间上恒成立，cos0 x 在固定区间上是成立的，故而把自变量x与参数a进行完全分离，转化为求不 含参函数 1 cos h x xx 的最值问题，再利用求导求单调性就可以求的函数 h x的最值。 222 10 424224 p xp 0h x在, 6 4 上 恒 成 立 ， h x在 , 6 4 上减函数， 14 2 42 42 ah ,实数a的取值范围为 4 2 , ，故选 B. 2形如 ,f x ag x或 af xg x（其中,f x a是关于x一次函数） 该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数 图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了。 例 2已知函数 32 32f xxxmxm ，若存在唯一的正整数 0 x，使得 0 0f x，则m的取值范 围是（） A.0,1B. 1 ,1 3 C. 2 ,1 3 D. 2 , 3 【思路引导】该题为含参数的存在性问题， 0 0f x可以进行半分离为 32 32xxmxm，再利用数 形结合的思想对 g 32 32)xxxh xm x （ ），（ ） （的图像进行分析即可。 即 0 44 1 33 m m m ，解得 2 1 3 a ，所以m的取值范围是 2 ,1 3 ，故选 C。 二分类讨论法 分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法， 该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考 虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论。 1 二次型根的分布或不等式解集讨论 该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据 对应定性（若二次项系数含参） ，开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据， 进行分类讨论，然后做出简图即可解决。 例 3当0 x 时，不等式 22 13 1ln2 22 xa xa xaa恒成立，则a的取值范围是（） A.0,11,B.0,C.,01,D.,11, 【思路引导】 该含参数的恒成立问题可以转化为求解函数 22 13 1ln2 22 f xxa xa xaa的最值， 利用求导求单调性的标准过程进行求解，求导后关键是解决含参数的二次函数不等式，可以依次确定对应 二次函数的定性（若二次项系数含参） ，开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较） ，然后做 出简图，即可得到函数的单调性，进而求的 f x的最值。 10 min g ag，故当0a 时且1a 时 0f x 综上a的取值范围是0,11,，故选A 2指数对数型解集或根的讨论 该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对 应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论。 即可解决。 例 4函数 2 1 1,1 2 x f xxekxk ,则 f x在0,k的最大值 h k （） A. 3 2ln22ln2B.1 C. 2 2ln22ln2kD. 3 1 k kek 【思路引导】 该题为含参数的最值问题,关键是确定单调性和区间,即含参数的导函数在区间上的符号,该导数 含 f (x)=x x e2kx=x( x e2k)含有指数，且 0fx 有两个根，故而要根据两个根的大小和两根与固定区间 端点的大小进行相应的讨论，确定单调性，再确定最值。 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ln a fxx x ，若 2 f xx在1,上恒成立，则a的取值范围是（） A.1, B.1,1C.1, D.1,1 【思路引导】该恒成立问题可以转化为含参数的最值问题，然后进行参数完全可分离，求解不含参函数的 最值即可解决。 【详细解析】由题意得 3 lnax xx，令 3 ln(1)yx xxx 2 1 ln12,40,yxxyx x 2 ln1 2ln1 1 20,yxx 1 ln1 111ya ；故选 A. 2设 lnf xx，若函数 g xf xax在区间 2 0,e上有三个零点，则实数a的取值范围是 () A. 1 0, e B. 2 11 , ee C. 2 22 , ee D. 2 2 1 , ee 【思路引导】 g xf xax的零点可以半分离为 f x与直线yax的交点，再利用数学结合和切线 的性质求解即可。 3不等式 2 ln20 xa xx的解集为A，若1,A ，则实数a的取值范围是（） A.0,B.0,1C.0,eD.1,0 【思路引导】 该题为恒成立问题,可以转化为含有参数的最值问题,求导可得是含参数的二次项,所以依次考虑 依次根据对应定性（若二次项系数含参） ，开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论 的依据.进行分类讨论,得到单调性和最值即可。 4当0 x 时，ln1 1 x xe ax x 恒成立，则a的取值范围为（） A.,1B.,eC. 1 , e D.,0 【思路导引】该类恒成立问题，因为ln10 x ，可以使用分离参数法进行完全分离，然后转化为不含 参函数的最值问题，求导求单调性即可。 【详细解析】当 x0 时， 1 x xe x aln（x+1）恒成立， , 1 ln1 x xe afx xx x0 则 f（x）= 2 2 2 1ln1 1ln1 xx exxxe xx ，再设 g（x）=（1+x）2ln（x+1）x， 则 g（x）=（1+x）ln（x+1）+1+xx=（1+x）ln（x+1）+10 恒成立， g（x）在0，+）上单调递增，g（x）g（0）=0，f（x）0 f（x）在0，+）上单调递增，f（x）f（0） ， 根据洛必达法则可得 f（0）=1a1，故 a 的取值范围为（，1，故答案为 A。 5已知函数 2 21ln ,1 x f xaxaxx aR g xex，若对于任意的 12 0,xxR， 不等式 12 f xg x恒成立， ，则实数a的取值范围为（） A.1,0B.1,0C. 3 , 2 D. 3 , 2 【思路导引】该问题是恒成立和存在性问题的综合，都转化为最值问题，但是参数无法进行分离，所以带 参数求导为二次项，故而根据含参数根的大小和根与区间端点的大小进行分类讨论，得最值即可。 综上可知10a .故选 B 6已知函