2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.1 二项式定理练习 新人教A版选修2-3

1.3.1 二项式定理(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.二项式定理的正用与逆用1,42.求二项展开式的特定项59,11,133.展开式的二项式系数与项的系数2,3,7,86,124.整除问题和近似计算10一、选择题1. 2c6c18c23n1c()a b(4n1)c23n1 d(3n1)b解析2c6c18c23n1c(c3c32c3n)(c30c3c32c3n1)(13)n1(4n1)2若n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()a6b7c8d9b解析因为n的展开式中前三项的系数c，c，c成等差数列，所以ccc，即n29n80，解得n8或n1(舍)tr1cx8rrrcx82r，令82r4，可得r2，故x4的系数为2c7.3. (2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()a80b40c40d80 c解析(xy)(2xy)5x(2xy)5y(2xy)5，由(2xy)5展开式的通项公式tr1c(2x)5r(y)r可得，当r3时，x(2xy)5展开式中x3y3的系数为c22(1)340；当r2时，y(2xy)5展开式中x3y3的系数为c23(1)280，则x3y3的系数为804040.故选c项4若对于任意的实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()a3b6c9d12b解析设x2t，则xt2，原式化为(2t)3a0a1ta2t2a3t3，所以a2c26.故选b项5若二项式n(x0，且nn*)的展开式中含有常数项，则指数n必为()a奇数b偶数c3的倍数d5的倍数c解析由tr1c()nrrcx，因展开式中含有常数项，故n3r0有解，所以n必为3的倍数故选c项6在(x23x2)5的展开式中x的系数为()a160b240c360d800b解析把(x23x2)5看作5个因式(x23x2)相乘，其中一个因式取3x，其他4个因式取2，得c3xc24240x，所以x的系数为240.二、填空题7在6的展开式中，x2的系数为_.解析通项为tr1cx6rrcrx62r，令62r2r2，x2的系数为c2.答案8(2017浙江卷)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4cc2cc2216；a5是常数项，由二项式的展开式得a5cc224.答案1649若n是777710除以19的余数，则n的展开式中的常数项为_.解析将777710变形为(761)7710，由二项展开式可得余数为10，从而得到n的展开式的通项tr1c10rrc10rrxr10，令r100，得r6，所以t7c46.所以展开式中的常数项为.答案三、解答题10(1)某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2%，求这家公司100天后的股票指数(精确到0.001)(2)求证：51511能被7整除解析(1)依题意有2(10.2%)1002(10.002)1002cc0.002c0.00222(10.20.0198)2.43962.440，故100天后，这家公司的股票指数为2.440.(2)证明：因为51511(492)511c4951c49502c49250c2511，易知除(c2511)以外各项都能被7整除，又2511(23)171(71)171c717c716c7c17(c716c715c)，显然上式能被7整除，所以51511能被7整除11已知n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项解析依题意，前三项系数的绝对值是1，c，c2，所以有2c1c2，即n29n80，解得n8(n1 舍去)所以展开式的第k1项为c()8kkkcxx(1)kx.(1)证明：若第k1项为常数项，当且仅当0，即3k16，因为kz，所以上式不可能成立，所以展开式中没有常数项(2)若第k1项为有理项，当且仅当为整数，因为0k8，kz，所以k0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们分别是t1x4，t5x，t9x2.12在(x2y3z)5的展开式中，求x3yz项的系数 解析可以把y，z看作参数，则tk1cx5k(2y3z)k，则含x3的项为cx3(2y3z)2，即x3yz项的系数为2(2)3c120.四、选做题13已知(mx)n(nn*)的展开式中共有7项，且所有项系数和为32，则含x3项的系数为()a15b0c15d20c解析因为展开式的项数共有7项，即(mx)nan