2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题练习 新人教A版必修5

第一课时距离问题课时分层训练1如图，为了测量隧道两口之间ab的长度，对给出的四组数据，要求计算时最简便，测量时最容易，应当采用的一组是()aa，b，ba，b，ca，b， d，a解析：选a根据实际情况，都是不易测量的数据，在abc中，a，b可以测得，角也可测得，根据余弦定理能直接求出ab的长故选a.2某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()a. b2c.或2 d3解析：选c如图所示，设此人从a出发，则abx，bc3，ac，abc30，由余弦定理，得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或x2.3.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得ac的长度为4米，a30，则其跨度ab的长为()a12米 b8米c3米 d4米解析：选dabc为等腰三角形，a30，b30，c120，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccos c424224448，ab4米4已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离是()aa km ba kmc.a km d2a km解析：选c如图所示，在abc中，acb1802040120，acbca，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccos 120a2a22a23a2，aba(km)，即灯塔a与灯塔b的距离为a km.5一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时()a5 n mile b5 n milec10 n mile d10 n mile解析：选c如图，依题意有bac60，bad75，cadcda15，从而cdca10，在rtabc中，求得ab5，这艘船的速度是10(n mile/h)故选c.6要测量对岸两点a，b之间的距离，选取相距 km的c，d两点，并测得acb75，bcd45，adc30，adb45，则a，b之间的距离为 km.解析：如图所示，在acd中，acd120，cadadc30，accd(km)在bcd中，bcd45，bdc75，cbd60，由正弦定理，得bc(km)在abc中，由余弦定理得ab2()222cos 75325，ab(km)，a，b之间的距离为 km.答案：7上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.解析：如图所示，设a，b为世博轴的两端点，c为中国馆，由题意知acb120，且acbc，过c作ab的垂线交ab于d，在rtcbd中，db500 m，dcb60，bc m.答案：8如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船航行的速度为 海里/时解析：由题可知pm68，mpn120，n45，由正弦定理，得mn6834，速度v(海里/时)答案：9.如图，我炮兵阵地位于地面a处，两观察所分别位于地面点c和d处，已知cd6 000 macd45，adc75，目标出现于地面b处时测得bcd30，bdc15.求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)解：在acd中，cad60，由正弦定理知adcd.在bcd中，cbd135，由正弦定理得，bdcd，在abd中，adb90.则abcd1 000(m)10.如图所示，某观测站c在城a的南偏西20的方向，从城a出发有一条走向为南偏东40的公路，在c处观测到距离c处31 km的公路上的b处有一辆汽车正沿公路向a城驶去，行驶了20 km后到达d处，测得c，d两处的距离为21 km，这时此车距离a城多少千米？解：在bcd中，bc31 km，bd20 km，cd21 km，由余弦定理得cos bdc.cos adc，sin adc.在acd中，由条件知cd21 km，bac204060，sin acdsin(60adc).由正弦定理得，ad15(km)故这时此车距离a城15 km.1某观察站c与两灯塔a、b的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔a在观察站c北偏东30，灯塔b在观察站c正西方向，则两灯塔a、b间的距离为()a500 m b600 mc700 m d800 m解析：选c根据题意画出图形如图在abc中，bc500，ac300，acb120，由余弦定理得，ab2ac2bc22acbccos 120300250022300500490 000，ab700(m)故选c.2如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点a，b到点c的距离acbc1 km，且acb120，则a，b两点间的距离为()a. km b kmc1.5 km d2 km解析：选a根据余弦定理ab2ac2bc22acbccos c，ab(km)故选a.3一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是东偏南20，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10海里 b10海里c20海里 d20海里解析：选a如图，由已知可得，bac30，abc105，ab20，从而acb45.在abc中，由正弦定理，得bcsin 3010.故选a.4.要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取a，b两点，观察对岸的点c，测得cab45，cba75，且ab120 m，由此可得河宽为(精确到1 m)()a170 m b98 mc95 m d86 m解析：选c在abc中，ab120，cab45，cba75，则acb60，由正弦定理，得bc40.设abc中，ab边上的高为h，则h即为河宽，hbcsin cba40sin 7595(m)故选c.5.如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140的方向航行，为了确定船位，在b处观测灯塔a的方位角为110，航行半小时后到达c处，观测灯塔a的方位角为65，则货轮到达c处时与灯塔a的距离是 km(精确到1 km)解析：依题意，知abc30，c105，bc4020，a1803010545，由正弦定理，得，解得ac10 14(km)故货轮到达c处时与灯塔a的距离约为14 km.答案：146一艘海轮以20 n mile/h的速度向正东方向航行，它在a点测得灯塔p在船的北偏东60方向上，2 h后船到达b点时，测得灯塔p在船的北偏东45方向上，则b点到灯塔p的距离为 n mile.解析：由题可知，在abp中，ab40，pab30，abp135，bpa15，由正弦定理得，bp20()(n mile)答案：20()7如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度bc约等于 m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)解析：根据已知的图形可得ab.在abc中，bca30，bac37，由正弦定理，得.所以bc20.6060(m)答案：608.如图所示，a，b，c，d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，ac0.1 km.试探究图中b，d间距离与另外哪两点间距离相等