2019-2020学年高中数学 第2章 随机变量及其分布阶段性测试题二 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若随机变量的分布列如下表所示，则p1的值为()124pp1 a0 b c d1解析：由分布列的性质得p11，得p1.答案：b2某校举行安全知识测试，约有2 000人参加，其测试成绩n(80，2)(0，试卷满分100分)，统计结果显示p(65)0.3，则此次安全知识测试成绩达到优秀(不低于95分)的学生人数约为()a200 b300c400 d600 解析：由正态分布密度曲线的对称性，可得p(95)p(65)0.3，所以测试成绩达到优秀的学生人数约为0.32 000600，故选d.答案：d3某射手射击所得的环数x的分布列如下，x5678910p0.050.150.20.30.250.05如果命中8环及8环以上为优秀，则该射手射击一次为优秀的概率是()a0.3 b0.4 c0.5 d0.6解析：pp(x8)p(x9)p(x10)0.30.250.050.6.答案：d4已知随机变量x的分布列如下：x123p0.20.5m若随机变量3x1，则e()为()a4.2 b18.9c5.3 d随m变化而变化解析：因为0.20.5m1，所以m0.3，所以e(x)10.220.530.32.1.又3x1，所以e()3e(x)132.115.3.答案：c5设整数m是从不等式x22x80的整数解的集合s中随机抽取的一个元素，记随机变量m，则的数学期望e()()a1 b5 c. d.解析：由x22x80得，2x4，s2，1,0,1,2,3,4，的分布列为2101234pe()01，故选a.答案：a6如图所示，在边长为1的正方形oabc内任取一点p，用m表示事件“点p恰好取自曲线yx2与直线y1及y轴所围成的曲边梯形内”，n表示事件“点p恰好取自阴影部分内”，则p(n|m)等于()a. b. c. d.解析：曲线yx2与直线y1及y轴所围成的曲边梯形的面积sm(1x2)dx1，直线yx与曲线yx2围成的阴影部分的面积sn(xx2)dx，p(m)，p(mn)，p(n|m)，故选a.答案：a7已知随机变量xn(，2)，且p(2x2)0.954 5，p(x)0.682 7，若4，1，则p(5x6)()a0.135 9 b0.135 8 c0.271 8 d0.271 6解析：p(5x6)p(2x6)p(3x4)()a. b. c. d.解析：xn(2，2)，(x)的图象关于x2对称，由(x)dx得p(04)p(00.若x的方差d(x)对所有a(0，1b)都成立，则()a0b b0bc.b1 d.b1解析：由x的分布列可得x的期望为e(x)ac，又abc1，所以x的方差d(x)(1ac)2a(ac)2b(1ac)2c(ac)2(abc)2(ac)2ac(ac)2ac(2a1b)21b421b，因为a(0,1b)，所以当且仅当a时，d(x)取最大值1b.又d(x)对所有a(0,1b)都成立，所以只需1b，解得b，所以b1.故选d.答案：d第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13(2019石家庄一中高二期末)已知有一匀速转动的圆盘，其中心有一个固定的小目标m，甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m处的地方向圆盘中心抛掷小圆环，他们抛掷的小圆环能套上小目标m的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标m被套上的概率为_解析：小目标m被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上；乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上；甲、乙抛掷的小圆环都套上，所以小目标m被套上的概率p.答案：14若a1,2,3，1，2，且aa，ba，ca，则a，b，c这三数中恰有两个正数一个负数的概率为_解析：p.答案：15若a，b，c相互独立，且p(ab)，p(c)，p(ab)，则p(a)_，p(b)_，p(c)_.解析：设p(a)x，p(b)y，p(c)z，由题意得得答案：16有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分，已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记为该考生答对的题数，为该考生的得分，则p(9)_，e()_(用数字作答)解析：p(9)c2.依题意，的可能取值为7,8,9,10，4.p(7)c3，p(8)c2，p(9)，p(10)3，e()789108，e()e(4)4e()32.答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)设随机变量的分布列为p(k)(k1,2,3,4,5)求：(1)e(2)2；(2)d(21)解：(1)e()123453，e( 2)12232425211，e(2)2e(244)e(2)4e()41112427.(2)d()(13)2(23)2(33)2(43)2(53)22，d(21)22d()8.18(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和样本方差s2；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值z分布服从n(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求p(187.8z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数利用的结果，求e(x)附：12.2，若zn(，2)，则p(z)0.682 7，p(2z2)0.954 5.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，zn(200,150)，从而p(187.8z212.2)p(20012.2z，p.又pq1，q0，p.p的取值范围为.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记x为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，随机变量x的分布列为x402p则e(x)40(2).假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，随机变量y的分布列为y201p则e(y)20(1).e(x)e(y)，丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大21(12分)(2019江西省五校协作体测试)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列和数学期望解：(1)记ai(i1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，a为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”由题设知p(a1)1，p(a2)1，p(a3)，所以p(a)1p(a1)p(a2)p(a3)1.(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量x，则x的所有可能取值为1 600,1 000,400，200，800，且p(x1 600)c40，p(x1 000)c31，p(x400)c22，p(x200)c13，p(x800)c04.故x的分布列为x1 6001 000400200800px的数学期望e(x)1 6001 000400200800800.22(12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解：(1)设顾客所获的奖励额为x.依题意，得p(x60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.依题意，得x的所有可能取值为20,60.p(x60)，p(x20)，即x的分布列为x2060p所以顾客所获的奖励额的期望为e(x)206040(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为x1，则x1的分布列为x12