常见数列通项公式的求法(超好)

常见数列通项公式的求法1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例2：已知数列的前n项和sn，求的通项公式。 解：（1）当n=1时，当时 由于不适合于此等式 。 练习：数列an满足an =5Sn3，求an。 答案：an=（）n-13.累加法：若求：。例3：（1）数列an满足a1=1且an=an1+3n2（n2），求an。（2） 数列an满足a1=1且an=an1+（n2），求an。解：（1）由an=an1+3n2知anan1=3n2，记f（n）=3n2= anan1则an= （anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1=f（n）+ f（n1）+ f（n2）+f（2）+ a1=（3n2）+3（n1）2+ 3（n2）2+ +（322）+1=3n+（n1）+（n2）+22（n1）+1 =32n+3=（2）由an=an1+知anan1=，记f（n）= anan1 则an=（anan1）+（an1an2）+（an2an3）+（a2a1）+a1=f（n）+ f（n1）+ f（n2）+f（2）+ a1=+1=练习：已知数列满足，求。答案：4.累乘法：已知求，用累乘法：。例4：在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，=所以练习： 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。 答案：5.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例5. 已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。例6. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以练一练已知，求；已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。例7：解：取倒数：是等差数列，练习： 已知数列中且（），求数列的通项公式。常见数列求和公式及应用1、公式求和法等差数列求和公式：等比数列求和公式：另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前项和公式.正整数和公式有：；例1：已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得 12、 倒序相加法则例2：已知，则解：由式变式训练：如已知函数f(x)对任意xR都有，+ ，（），求3、 裂项相消法一些常见的裂项方法：；例3： 求数列的前n项和.解：设则 练习：已知，又，求数列bn的前n项的和.4、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。例4：求例5：设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得练习：3.求数列前n项的和.小结：错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以