2020届高三第一次统测数学.doc

北京四中xx届高三第一次统测数学(试卷满分150分，时间120分钟)一、选择题(每小题4分，共56分)1.(理)设f：xx2是集合A到集合B的映射，如果B=1，2，则AB等于( )A.1 B. C.或1 D.或22.(理)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是( )A.(-，+) B.(-，1)C.(-，) D.(-，-)3.(理)函数y=(-1x0)的反函数是( )A.y=-(x1) B.y=-(x)C.y=(0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.11.(理)在()24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有( )A.3项 B.4项 C.5项 D.6项12.(理)显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有( )A.10 B.48 C.60 D.8013.(理)设Sn是无穷等比数列的前n项和，若Sn=，则首项a1的取值范围是( )A.(0，) B.(0，)C.(0，)() D.(0，)(，0)14.(理)已知函数f(x)=2+log3x(1x9)，则函数y=f(x)2+f(x2)的最大值为( )A.6 B.13 C.22 D.33二、填空题(每小题5分，共40分)15.(理)已知集合A=-1，3，2m-1，集合B=3，m2，若BA，则实数m=_16.设g(x)=则gg()=_.17.(理)设有两个命题：关于x的不等式mx2+10的解集是R，函数f(x)=logmx是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是_.18.(理)要得到函数y=3f(2x+)的图像，只须将函数y=3f(2x)的图像向_移动_个单位.19.如图，将正方形按ABCD沿对角线AC折成二面角D-AC-B，使点B、D的距离等于AB的长.此时直线AB与CD所成的角的大小为_.20.(理)椭圆ax2+by2=1与直线y=-x+1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线斜率为，则=_.21.已知A箱内有1个红球和5个白球，B箱内有3个白球，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱，共有_种不同的取法，又红球由A箱移人到B箱，再返回到A箱的概率等于_.22.定义在(-，+)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在-1，0上是增函数，下面是关于f(x)的判断：f(x)是周期函数；f(x)的图像关于直线x=1对称；f(x)在0，1上是增函数；f(2)=f(0).其中正确的判断是_(把你认为正确的判断都填上)三、解答题23.(本小题13分)(理)已知函数f(x)=2x-1的反函数为f-1(x)，g(x)=log4(3x+1)(1)用定义证明f-1(x)在定义域上的单调性；(2)若f-1(x)g(x)，求x的取值集合D；(3)设函数H(x)=g(x)-f-1(x)，当xD时，求函数H(x)的值域.24.(本小题13分)(理)设点P(x，y)(x0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(，0)的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；(2)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且=0，点O到直线l的距离为，求直线l的方程.25.(本小题14分)(理)某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.(例如：ACD算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E.26.(本小题14分)(理)如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA面ABCD且|PA|=1(1)BC边上是否存在点Q，使得FQQD，并说明理由；(2)若BC边上存在唯一的点Q使得FQQD，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值；(3)在(2)的条件下，求二面角Q-PD-A的正弦值.北京四中xx届高三第一次统测数学参考答案一、选择题(每小题4分，共56分)1. (理)C 【解析】本题考查了映射的概念及集合的交集运算，属基础知识考查。由已知可得集合且是集合-，-1，1，的非空子集，则AB=或1，应选C.2. (理)B 【解析】本题考查了函数的定义域及不等式组的求解.由已知可得x1，故应选B.3. (理)A 【解析】本题考查了指数函数与二次函数的复合函数的反函数的求解.由-1x0，得x2-1(-1，0，y=(，1.又x2=log3y+1(-1x0)，x=-，即函数y= (-1x0)的反函数是y=-(x1)，应选A.4. (理)B 【解析】本题考查了对数函数与二次函数的复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.由0sin10)的右准线方程为x=解之得a2=3或a2=-(舍去).e=.故应选A.11. (理)C 【解析】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项公式，无理项及有理项的项数求解问题.二项式()24展开式的通项公式为,其中r=0，1，2，24.当r=0，6，12，18，24时其x的幂的指数是整数，即共有5项，故应选C.12. (理)D 【解析】本题考查了排列组合的应用，考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理问题的能力。将显示的三个孔插入其余的4个不显示的孔中间及左右的5个空中有=10种插法，每个小孔均有显示0或1两种显示方法，则不同的显示信号数为10222=80种，故应选D.13. (理)C 【解析】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题.由，解得q=1-4a1，|q|1且q0，可得，|1-4a1|0的解集是R，知命题是真命题.而由结论知两个命题中有且只有一个是真命题可得命题为假命题，即得m0或m1.18. (理)左， 【解析】本题考查了函数图像的平移及自抽象函数的解析式的变量特征.在左右平移的过程中变量的量仅为x，与前面的系数是无关的.y=3f(2x+)=3f2(x+)，只须将函数y=3f(2x)的图像向左平移个单位即可得到函数y=3f(2x+)的图像.19. 60 【解析】本题以正方形的折叠为背景，考查了异面直线所成角问题.如上图所示，分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，则有EFAD，OEBCFEO就是直线AB与CD所成的角.设正方形边长为2a，则DO=BO=，且DOAC，BOAC即DOB为二面角D-AC-B所成的角，由于DB=2a可得DOBO，OF=DB=a=EF=EO，即得FEO=60，即得直线AB与CD所成的角的大小为60.20. (理) 【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，考查了考生对“设而不求法”的掌握.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax12+by12=1 ，ax22+by22=1 ，-式可得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0，从而得.21. 400 0.25 【解析】本题考查了排列组合在投球入盒问题中的应用，相互独立事件同时发生的概率的事件的分析与概率的求解.从A箱中取出3个球有=20种取法，再从B箱中取出3个球有=20种取法，故共有2020=400种不同的取法.红球由A箱中取出的概率为，再从B箱中取回红球的概率为.则红球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于P(AB)=P(A)p(B)=0.25.22. 【解析】本题以开放题形式出现，全面地考查了抽象函数的周期性、奇偶性、单调性、函数图像的对称性等性质的探究，由f(x+1)=-f(x)，可得f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x)，f(x)是周期函数，且2是其一个周期，f(2)=f(0).即得正确；f(x)为偶函数，f(-x)=f(x)=f(x+2)，f(x)的图像关于直线x=1对称，即得正确；f(x)为偶函数，且在-1，0上是增函数，f(x)在0，1上是减函数，即得错误.故应填。三、解答题23. (理)(1)解：函数f(x)的值域为(-1，+)，由y=2x-1得x=log2(y+1)，所以f-1(x)=log2(x+1)(x-1) (2分)任取-1x1x2，f-1(x1)-f-1(x2)=log2(x1+1)-log2(x2+1)-log2=由-1x1x2得0x1+1x2+1，因此01得log20所以f-1(x1)f-1(x2)故f-1(x)在(-1，+)上为单调增函数.(5分)(2)f-1(x)g(x)即log2(x+1)log4(3x+1)(7分)解之得0x1，所以D=0，1 (9分)(3)H(x)=g(x)-f-1(x)=log4(3x+1)-log2(x+1)=(10分)由0x1得13-2，所以0log2(3-) (12分)因此函数H(x)的值域为0， (13分)24. (理)(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线.(6分)(2)当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A()，B()，不符合=0 (7分)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b(k0，b0)，联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky2-2y+2b=0 (9分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2=0x1x2+y1y2=0+y1y2=0y1y2+4=0+4=0b+2k=0 (11分)又O到直线l距离为得 (12分)联立解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2(13分)25. (理)解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线ACDB中遇到堵车的概率P1为1-P()=1-P()P()P()=1-1-P(AC)1-P(CD)1-P(DB)=1-；(3分)同理：路线ACFB中遇到堵车的概率P2为1-P()=(小于)(4分)路线AEFB中遇到堵车的概率P3为1-P()=(大于) (5分)显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6分)(2)路线ACFB中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.(7分)P(=0)=P()=. (8分)P(=1)=P(AC)+P(CF)+P()=(10分)P(=2)=P(ACCF)+P(ACFB)+P(CFFB)(12分)P(=3)=P(ACCFFB)=，E=0+1答：路线ACFB中遇到堵车次数的数学期望为. (14分)26. (理)解：(1)若BC边上存在点Q，使PQQD，