2020高考数学复习的几点思考.doc

新高考高三数学复习的几点思考（江苏省教育学会高考信息研究会）xx年3月15日一首先，必须让学生知道新高考考什么？ 新高考来了，尽管大家对新高考有这样那样的看法，但是我们还是必须面对它，研究它.为了让学生知道新高考考什么,对于教师来说，必须研究新高考的指导思想是什么?研究课程改革的理念, 研究新高考与课程改革的关系，研究新高考与原高考的区别等等,从而明确新高考考什么.高考的方式,高考的内容可以变, 但是用数学的思想,数学的方法去培养学生的能力这一数学教育目的没有变, 因此,在数学高考的复习中, 用数学的思想,数学的方法去提高学生的数学思维能力还是数学复习的基本方法，基本指导思想.二让学生的解题思维有数学思想的指导解题必须有思想的指导,也就是说,数学解题的基本方法是具有思想性的. 数学的思想是数学基本方法的灵魂.在数学复习中，有意识地揭示这些数学基本方法中所隐含的数学思想, 在数学学习活动中形成一些数学的观点；在数学知识结构的形成、完善过程中，有意识地用数学的观点去观察、分析数学问题，不断地获取、积累、深化这些数学的观点，使这些数学的观点能够在数学思维中升华为数学意识,从而就能从根本上提高思维能力, 提升思维层次,提高数学能力,这是数学学习的有效方法之一,也是数学学习的目的.例1已知 , ,求 的值.分析(1) ,在公式中是联系在一起的,由此,我们可以下面的解法.解法(1) , =8.分析(2) 显然由和要分别解出的值是不可能的,但是,我们可以利用和消去中的变元,从而得的值,也就是说,消元就是解这个问题的指导思想,而且, 消元在代数式的求值中具有一般的指导意义.解法(2) , , , , = = = =8.例2. 设，求证：. 证明方法(一): = (1)故成立.证明方法(二)= =故成立.问题: 表达式(1)是如何冒出来的? 证明方法(一)与证明方法(二)有什么关系?例3化简：.分析: 这是一个极容易的化简题, 学生很可能盲目地获得结果.我们要问: 解本题的指导思想是什么? 先看下面两个解法:解法(一): 原式=1解法(二): 原式=1说明: 证明方法(一)中将被化简式的表达形式与公式挂钩不容易, 因此，这一种方法的技巧性较强.证明方法(二)的指导思想是:“消元”. 我们又要问:消元的方法是什么? 回答是: 减少三角函数名称, 减少角的表达形式.由证明方法(二)的指导思想还可以获得以下证明方法:解法(三) 原式消元成只含的表达式而被化简.原式= =1解法(四) 原式消元成只含的表达式而被化简.原式= = =1例4已知圆，直线过定点A (1，0)（1）若与圆相切，求的方程； （2）若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与的交点为N，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.(1) 解：若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意 若直线斜率存在，设直线为，即由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线方程是，。 (2) 解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为由 得 又直线CM与垂直，由 得 为定值. 故是定值，且为6. 解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为.由 得 再由 得 得 以下同解法一解法三：用几何法，如图所示，AMCABN，则，可得，是定值说明: 显然, 由于应用了平面几何知识, 解法（三）比解法(一)、解法(二)简洁.例5 双曲线的离心率为，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点.(1) 若，求直线的斜率；(2) 证明：M、N两点的纵坐标之积为.解: （1）解：设， 双曲线的离心率为， ，双曲线方程为， ， ， 直线为, ， 点Q是双曲线上一点， ，整理得， 解得.（2）证明：设由题设可知:直线的方程为 ,直线的方程为. ， ，由得 ， .（k不存在要作特殊处理）例6 (扬州市xx届高三第二次调研测试) 已知圆C：，直线，且直线与圆C交于，点满足.(1) 当时,求的值;(2) 若,求的取值范围.解：（1）当时,点在圆上，故当且仅当直线过圆心时满足， 圆心的坐标为（1，1）， .设,由 消去可得, , , , , , 即 , ,方法(1) 对进行整理,方法(2) 对进行整理,令, 则函数的图象与轴在上有公共点,若,则,故不可取.故 或或或或显然, 方法(1)和(2)不易求解.方法(3) 由得, 令 () , , , 20且1), =18, =12.(1) 求数列的通项公式;(2) 试判断是否存在正整数,使得当时, 1恒成立,并说明理由; (012时,求证:+ +.+.解：（1） 数列是各项为正数的等比数列， 当2时，=- = 为常数， 数列为等差数列。 =18, =12， =-2+24 .(2) 由(1)知, =-n+12. 若01,则当12时, 1;当=12时, =1;当12时, 1,故当01时,存在=12,当12时, 1. 若1,则当12时, 1;当=12时, =1;当12时, 1,故当01时,不存在,当时, 1.(3) 方法(一)当14时+ +.+ = =+= .= 当=13时, + +.+=综上所述, 当13时, + +.+.方法(二)设=+ +.+，则= +.+-=+-=0 . , 即 单调递减,.例2. 已知数列满足: .(1) 证明: 数列成等比数列;(2) 证明: .(1) 证明: , , 数列 是以2为首项,公比为2的等比数列.(2) 证明方法： 由(1)可知, ,解得: .证明方法：由(1)可知, = =直线与平面平行的证明: 一般用下列两个基本图形在已知平面内给出一条直线与已知直线平行, 或用面面平行的方法证明.证明直线与平面平行,如果利用线面平行的判定定理来证明,就必须在已知平面内找到一条直线与已知直线平行,这条直线一般可以过已知直线作一个与已知平面相交的平面而得到,而这个平面可以经过已知直线和与已知直线、已知平面都相交的另一条直线而得到(如图(1),也可以经过过已知直线上两点且与已知平面相交的两条平行直线而得到(如图(2). (辅助线的添加问题)例3四棱锥的底面是平行四边形, 点在棱SA上,点在BD上,且, 求证: 平面.例4正三棱柱中，E为AC的中点.求证: 平面. 分析: 先利用图形(1)在平面内给出与直线平行的直线.本例中与直线、平面都相交的直线有、. 与确定平面， 显然点是平面与平面的一个公共点, 延长、相交于点F,连结BF，则直线BF就是经过直线的平面与平面的交线，只要证明直线直线,就可得平面. 与确定平面, 显然点E是平面与平面的一个公共点, 连结,设直线与直线的交点为G, 连结EG,则直线EG就是平面与平面的交线，只要证明直线直线,就可得平面. 与确定平面，显然点是平面与平面的一个公共点,因此,这时的证明方法与相同. 与确定平面,显然点是平面与平面的一个公共点,延长到,使,连结,则就是平面与平面的交线，只要证明直线直线,就可得平面.下面再利用图形(2)在平面内给出与直线平行的直线. 直线AC是过点A且与平面相交于点E的一条直线,下面我们在给出一条过点且与AC平行、与平面相交的另一条直线.在平面内过点作,过点作,连结 ,只要证明就是经过直线的平面与平面的交线，且直线,就可得平面. 直线AB是过点A且与平面相交于点B的一条直线,下面我们在给出一条过点且与AB平行、与平面相交的另一条直线. 在平面内延长到T,使=,连结、,只要证明就是经过直线的平面与平面的交线，且直线,就可得平面. 本例也可以利用面面平行的性质证明平面. 取的中点F, 连结AF、B1F，证明平面平面，就可得平面. 本例也可以用基底向量法给出证明. 证明: 取为一组基底., =, 设= , 则=()= , , =-+ , 平面.四让学生知道练什么，使学生的操作技能达到一定层次例1求函数在上的最小值为-2，求实数的取值 .例2已知函数的最小值是，求实数的取值 . 解：若,则函数的定义域为0,+),且为增函数,故,得;若,则函数的定义域为-a,+),且为增函数,故,得, .例3 (盐城市xx届高三第一次调研卷)题12已知函数在的最大值为,求实数的取值 . 例4 (苏州市xx届高三第一次调研测试)题19某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且没卖一件产品需向税务部门上交(为常数,)元的税收.设每件产品的日销售价为元,根据市场调查, 日销售量与为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日销售价为40元时, 日销售量为10件.(1) 求该商店的日利润元与每件产品的日销售价元的函数关系式;(2) 当没件产品的日销售价为多少时, 该商店的日利润最大,并求出的最大值.解: (1) = ;(2) = , 若,则, (当且仅当是取等于号), 这时,函数在上为减函数, 的最大值为,即10; 若,则,当时, ,当时, ,这时, 函数在上为增函数, 在上为减函数,故函数的最大值为,即 例5求函数的最小值.例6设a为实数, 函数.(1) 讨论函数的奇偶性; (2) 求的最小值.解(1): 若函数为奇函数，则+=0，即（）+（，这是不可能的，故函数不可能为奇函数.若函数为偶函数，则-=0，即（）-（， 等式对任意都成立, 故,即时函数为偶函数.(2) 函数可以化为方法(一) (整体求解) 若，则函数在是减函数,在上是增函数, 故函数的最小值为. 若,则函数在是减函数,在上是增函数, 故函数的最小值为. 若，则函数在是减函数,在上是增函数, 故函数的最小值为. 方法(二) (分段讨论) 当时, ,若 ,则函数在是减函数, 故函数的最小值为, 若,则函数的最小值为. 当时, , 若 ,则函数的最小值为. 若,则函数在是增函数, 故函数的最小值为, 若，则函数的最小值为; 若,则函数的最小值为; 若,则函数的最小值为.例7求使关于的不等式在恒成立的实数的取值范围.例8若不等式对任意的正整数恒成立,则实数的取值范围是 . 例9已知二次函数，对于，成立，试求实数的取值范围.解: 由题设可知, , 若, 则; 若, 则, , , .例10 (南京市xx届高三第一学期期末调研卷)题20已知数列是公差为的等差数列,它的前项和为,.(1) 求公差的值;(2) 若,求数列中的最大项和最小的项;(3) 若对任意的,都有成立,求的取值范围.解：（1） ，解得，.(2) 若,则, = 当时,取最大值3, 当3时,取最大值-1.(3) =1+, , 1+ 1+, ,方法：若，则， ；若，则若，则，.综上所述, .方法：考虑函数由此可知, , .例11 (南京市xx届高三第一学期期末调研卷)题18某建筑的金属支架如图所示,根据要求至少长2.8,为的