一元二次方程根与系数之间的关系Ⅱ.doc

中考数学辅导之一元二次方程根与系数之间的关系上期,我们学习了一元二次方程根与系数之间的关系.即若x1,x2是ax2+bx+c=0(a0)的两根,则有此定理的应用我们讲了第一种,即不解方程求某些代数式的值,如已知的两实根,求的值.在此专题中,还有一题.例:已知2x2-3x-1=0的根是x1,x2求|x1-x2|的值.分析:由二次根式的性质,反之,因此将可化为求.解:有了这个例题,求代数式的值的类型都可解决.第二种用法是利用根与系数间的关系求某些字母的值.例1. 已知关于x的一元二次方程.解: 是x2-9x+23=0此时=(-9)2-423=81-92=-110方程无实根 m=-1小结:此题的两根之和与两根之积是含m的代数式.由已知条件配方成代入两根之和与两根之积,化为含有m的一元二次方程,解方程求出m的值,还要检验方程的根是否都适合题意.例2: 已知一元二次方程x2-2kx-5+2k=0的两根是x1,x2且求k的值.解:由韦达定理得:x1+x2=2k,x1x2=2k-5两边平方得:(x1-x2)2=32经检验k1=3和k2=-1都适合题意.例3: 已知m是正实数,关于x的方程2x2-mx-30=0的两根是x1,x2,且5x1+3x2=0且5x1+3x2=0求m的值.解:由根与系数间的关系可得 由已知条件5x1+3x2=0 解:组成的方程组 解得: 将方程组的解代入得m=4或m=-4 m是正实数 m=4上述三个例题的已知条件都有一个:例1中是;例2有条件;例3中有5x1+3x2=0.但每题都有隐含条件即.这样每题匀有三个条件,将这三个条件很好运用,就可求出m或k.此种应用是根与系数间的关系习题中经常遇到的,应很好掌握.第三种应用:求一个新方程,使这个新方程的根与原方程的根有某些关系.如果方程x2+px+q=0的根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=qp=-(x1+x2), q=x1x2代入x2+px+q=0得x2-(x1+x2)x+x1x2=0这就是以两个数x1,x2为根的一元二次方程.(注意:方程的一次项系数是两数和的相反数,常数项是两数之积).例1. 求一个一元二次方程,使它的两根分别是: 分析:就是方程的根x1,x2,代入方程公式解:以为根的方程是 解:以为根的方程是 例2. 已知方程求作一个新方程,使它的根分别是原方程的根的平方.分析:x1,x2是原方程的根, 则设新方程的根是y1,y2(注意设新方程的极是y1,y2是因为要与原方程的根x1,x2有所区别.)解:设新方程的极是y1,y2,由题意得 (新方程的根是原方程根的平方)以y1,y2为根的方程是y2-(y1+y2)y+y1y2=0例3. 已知方程5x2+2x=3求作一个方程,使它的根是原方程根的负倒数.解:设原方程根是 新方程的根是 所求方程是 本次练习一、 解答下列问题1. 已知x1,x2是方程x2-2(2m+1)x+3m2-4=0的根,且.求m的值.2. 已知方程2x2+mx-2m+1=0的两个根的平方和是.求m的值.3. 已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和是11.求k的值.4. 已知方程(m+2)x2-8mx-(2m-1)=0的两根互为负倒数.求m的值(提示:两根互为负倒数,是两根之积是-1).二、求以下列两数为根的方程 1. 2.三、不解方程求作一个新的一元二次方程,使它的根分别满足下列条件1. 已知方程4x2-3x-1=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的相反数.2. 已知方程6x2-3x-2=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的倒数.3. 已知方程2x2-5x=2,求作一个新方程,使它的根是原方程根的平方.4. 已知方程2x2=7-5x,求作一个新方程,使它的根比原方程的根大3.5. 已知方程2x2-x-7=0,求作一个新方程,使它的根分别是原方程根的3倍.6. 已知方程x2-3x+1=0,求作一