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2.6用初等变换求逆矩阵,一.用初等变换法求逆矩阵及解矩阵方程,一、等价定理,定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价：,（1）A是可逆的；,（2）AE，E是n阶单位矩阵；,（3）存在n阶初等矩阵,（4）A可经过有限次初等变换化为E.,证明1（1）（2）易证明(见书上证明),（2）（3）,因为AE，,再由矩阵,那么，把E变为A的初等变换,即有：,等价的对称性，,有EA。,所对应的初等矩阵为,，所以,（3）（4）,，由,有,由于,仍是初等矩阵，上式说明对A,实施有限次初等行变换可化为E，列的情形类似可得。,（4）（1）,设A可经有限次初等行变换可化为E，,则存在初等矩阵,，使,由于,初等矩阵,可逆，,所以A可逆。,证毕。,分析:,A可逆,上式表明:若,则A可逆,且X即为,AX=B的解X=A1B.,特别,若,即如何求X=A1B?,给定n阶可逆方阵A及ns阶矩阵B,如何解AX=B?,即有,例1：设,，试用初等变换法求,解：,所以,例2.设,问B是否可逆？,解法1.,若可逆，求其逆阵B1。,可见B不可逆,B不可逆,一、二两行相同！,解法2.利用“A可逆A”,例3.求解,解:原方程变形为,可见AE可逆,且,注:若要求,思考:设A,B可逆,如何解矩阵方程AXB=C?,方法一：,方法二：,内容小结,1.矩阵的初等变换与初等矩阵,2.用初等变换法求矩阵的逆:,作业P64.25(1),（2）,注意:初等矩阵可逆,其逆矩阵为同类型初等矩阵,用初等矩阵右乘A对A作列变换,3.用初等变换法求AX=B的解X=A1B:,4.与任意矩阵A
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