3-应变分析ppt课件

第三章应变分析,3-1相对位移张量和应变张量,3-3应变张量的性质,3-4变形协调方程,3-5位移边界条件,3-2几何方程Cauchy方程,1,3-1相对位移张量和应变张量,一.一点的相对位移张量,P,设点的位移分量为,相邻一点,A,A1,P1,位移分量为,两点间的位移（矢量）差,将在处展开，并忽略高阶项，则,2,相对位移张量一般为非对称张量。,相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的相对位移；,称为P点的相对位移张量,3,二.转动张量,设,若为刚体位移，则,展开,4,由dxidxj的任意性，其项前系数为零。即,所以,相对刚体位移张量为反对称张量，并记为,满足此条件的相对位移张量称为相对刚体位移张量或转动张量,5,将相对位移张量分解为对称和反对称张量为,其中第二项,第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生的相对位移张量。称为应变张量，记为。,三.应变张量,与对比，即等于转动张量,6,应变张量是对称张量,7,3-2几何方程Cauchy方程,建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义,考察P点，,分别沿x、y、z正向引三正交线元r、s、t,变形后P点移动到P点,三线元的长度和相对夹角也发生变化,将三线元变形前后的位置分别向三坐标面投影，建立其应变和位移的关系,投影引起的误差为高阶微量,以向yz平面投影分析为例,8,设P点的坐标为y、z,s、t的长度为dy、dz,点P到P的位移为v、w,s点到s的位移为vs、ws,由正应变的定义,由切应变的定义,t点到t的位移为vt、wt,9,若向xy平面投影同理可得,若向zx平面投影同理可得,综合之,此方程组表明了应变与位移的关系，称为几何方程或Cauchy方程,对比应变张量各分量，可见,10,应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同，但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可由应变张量描述,几何方程可表示为,11,3-3应变张量的性质,由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质,一.任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变,1.设一点的应变状态为ij，则该点任意方向N(l1,l2,l3)正应变,2.设一点的应变状态为ij，两垂直方向分别为r(l1,l2,l3)和s(l1,l2,l3)，则该点rs方向上的切应变,二.应变状态的坐标变换,设一点的应变状态在Oxyz坐标系下的应变张量为ij，旋转后的坐标系为Oxyz，两坐标系间的方向余弦为lij，则,12,三.主应变、主方向,设一点的应变状态为ij，,过此点可作任意组三向正交线元，,总存在一组线元在变形前后始终保持正交，即两两方向上的切应变为零。,将该组线元方向称为应变主方向，沿主方向的正应变称为主应变。（该组线元所构成的三轴又称为应变主轴，两两线元构成的平面称为应变主平面。）,由以上定义，类似主应力分析可得,1.主平面（主方向）方程,其中为主应变，lj为主方向,13,2.主应变方程（特征方程）,3.应变不变量,三实根按123排序,14,4.最大最小应变,最大正应变max1,最小正应变min3,最大最小切应变,5.八面体应变,八面体表面法线方向的正应变,八面体表面上两正交方向的切应变,6.应变强度,15,四.体积应变和应变张量分解,1.体积应变,由正交三线元可构成一微元体，考察变形前后微元体体积的变化。,变形前微元体体积,变形后微元体边长,其中，表示切应变的高价微量,变形后微元体体积,16,定义,体积应变,可见应变张量的第一不变量的物理意义为体积应变,考察位移场,即,其散度,说明应变张量的第一不变量或体积应变的数学意义为位移场的散度,当=0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：,应变张量的第一不变量为零,或,位移场的散度为零,17,2.应变张量的分解,与应力张量的分解类似，可将应变张量分解为球张量和偏张量,其中,只有体积改变而无形状改变,只有形状改变而无体积改变,18,不变量,19,3-4变形协调方程,一.问题的提出,1.根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。,3.由于几何方程是导出关系，数学上它们之间并不是相互独立的，而存在着一定的相互制约关系。,2.由几何方程可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量ij。,4.物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物体内在变形时会出现分裂和重叠。,二.变形协调关系,应变分量间的关系,考察几何方程,在xy平面内,20,所以,同理，考察yz和zx平面可得,故得第一组变形协调方程,考察,21,故得第二组变形协调方程,如果作不同的数学运算组合可得若干组变形协调方程,若把几何方程和变形协调方程视为泛定方程组，因仅联系九个量（六个应变、三个位移），需九个独立方程。而几何方程有六个，故在若干组变形协调方程中，只有三个方程独立。,需要指出，变形协调方程是应变张量的禀性方程。即，满足变形协调方程是任何真实应变张量的必要条件。,22,3-5位移边界条件,给定边