江苏省东台中学2020高二年级第二学期创新班数学开学考试解析版

江苏省东台中学2018级高二年级第二学期开学考试创新班数学试题 2020.4测试时间120分钟；分值满分150分。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B2.复数的实部与虚部的比值为（ ）A. B. C. D. 答案：D3.由于”新冠病毒”疫情影响，老师同学们都响应号召“停课不停学”，在家上起了网课，X老师为了了解学生在家的学习情况，准备从住在“碧桂园”小区的4名学生和住在“晨光满园”小区的3名学生中随机选择2位同学进行家访，则选择的2位同学恰好来自同一小区的种数有（ ）种.A. B. C. D.答案：A4.双曲线E经过点，其渐近线方程为，则E的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D5.袋子中有四个小球，分别写有“东、中、勤、进”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“勤”“进”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第四次停止的概率利用计算机随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“东、中、勤、进”这四个字，以每四个随机数为一组，表示取球四次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：2323 3211 2303 1233 0211 1322 2201 2213 0012 12312312 1300 2331 0312 1223 1031 3020 3223 3301 3212由此可以估计，恰好第四次就停止的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在随机数中，找出满足条件的四位数的组数，除以20，求出所求概率.【详解】恰好第四次就停止,前3个数字中“2”“3”出现一数字（可以重复出现），另一个在第4个位置，在20个随机数中满足条件的有：2213,0312,1223，3组数字满足，概率为.故选:B.【点睛】本题考查用随机模拟数求概率，认真审题，理解题意，属于基础题.6.九章算术之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，张丘建算经上卷第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织布390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A. B. C. D.【答案】D （同寒假作业二、五的第3题）7在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）ABCD【答案】C【解析】的展开项，令，可得，故选8. 已知斜率为的直线与曲线交于，两点，线段的中点为，则斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D（同寒假作业三的第8题改编）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9. 在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，则下列说法正确的有（ ）A. B.销售量y的标准差为C.回归直线恒过定点 D. 当时，的估计值为【答案】ACD【解析】由数据表可知：；，只有选项AC符合题意，故选AC。10. 下列说法中正确的有（ ）A. 是不等式的成立的必要不充分条件B. 两个事件相互独立的充要条件是C. 若，则的值为D. 若随机变量服从正态分布，且,则实数的值为1【答案】BD (B源自课本，A源自寒假作业三第11题，C源自滴水穿石42练第8题，D源自55练第11题)11. 点到抛物线准线的距离为1，则a的值可能为（ ）A. B. C.12D. 12【答案】AC【解析】因为抛物线的标准方程为，若，则准线方程为，由题设可得，则，不合题意，舍去；若，则准线方程为，由题设可得，解之得或，应选答案AC。12等差数列的前项和为，若，公差，则下列命题正确的是（ ）A若，则必有B若，则必有是中最大的项C若，则必有D若，则必有【答案】ABC【解析】【分析】直接根据等差数列的前项和公式逐一判断【详解】等差数列的前项和公式，若，则，A对；，由二次函数的性质知是中最大的项，B对；若，则，C对，D错；故选：ABC【点睛】本题主要考查等差数列的前项和公式及其应用，属于中档题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_.【答案】(课本17页第10题)14. “”是“”的_条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）【答案】充分不必要【解析】源自寒假作业五第9题【分析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案【详解】解：由不等式的性质可知，由得，故“”成立可推出“”，而，当，则，所以“”不能保证“”，故“”是“”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型【点睛】本题考查古典概型求概率，利用列举法将所有基本事件一一列举出来，属于基础题.15.随着生活水平的提高，小汽车开进了寻常百姓家。为了安全，私家车在行驶达到两万公里左右，四个轮胎需要互相调换位置，某修理员拆下四个轮胎后忘记了它们原有的位置，只能将四个轮胎随机安装，则只有一个轮胎还安装在原来位置的概率为_，四个轮胎均不在原位置的概率为_【答案】 16正项等比数列满足，且2，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_【答案】【解析】设等比数列的公比为.由，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知正实数满足.(1)求的最小值；(2)若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围.答案(1) 3 (2)寒假作业五第18题改编18.3月5日，东台市红十字会应急救援队的11名队员来我校开展预防性义务消毒活动，为学校后期的复学复课助力加油。（1）他们分乘两辆车（一辆5座，一辆7座车）前往我校，求有多少种不同的安排方式使得5座车满员（不计车内位置区别）？（2）分配任务时，A,B,C,D,E五位队员要对办公楼、食堂、宿舍四个区域同时进行消毒，要求宿舍至少安排2人，其余每个区域至少一人，那么共有多少种不同的分配方式？答案:(1)462 (2)80答略（没有扣2分）19.如图，四棱锥中，平面ABCD，PC与平面ABCD所成的角为，又.（1）证明：CD平面；（2）求二面角余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，根据线面垂直的性质，得出，再结合面面垂直的判断，即可证明平面平面PCD；（2）因为，PC与平面ABCD所成的角为，求出，建立空间直角坐标系，通过空间向量法，分别求出平面和平面的法向量，通过二面角公式求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，又因为且，所以平面.（2）因为平面，所以为在平面内的射影，所以为与平面所成角，故，在中，因为，所以，在中，因为，所以，又因为，所以，即.在，因为，所以.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系：则，得，设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，得.所以，观察可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考査线面垂直的性质、面面垂直得判断、线面角定义以及用向量法求二面角等知识点，同时考查空间想象能力、运算求解能力.20. 2003年，“非典”爆发，以钟南山为代表的医护工作者经长期努力，抗击了非典。2020年84岁高龄的钟院士再次披挂上阵，逆行武汉抗击新冠疫情。为调查中学生对这一伟大“逆行者”的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举钟南山院士在医学上的成就，把能列举钟南山成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下22列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解钟南山与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本（）求抽取的文科生和理科生的人数；（）从10人的样本中随机抽取3人，用X表示这3人中文科生的人数，求X的分布列和数学期望参考数据与公式：P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828，【解析】（1）依题意填写列联表如下：，没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关（2）（）抽取的文科生人数是：人理科生人数是：人（）的可能取值为则；其分布列为：21. 已知数列an的前n项和为Sn，且.（1）求数列an的通项公式：（2）令，求数列bn的前n项和Tn.（3）记.是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】源自寒假作业一第21题，作业二第22题（1）当时，即当n2时，即数列是首项为1，公比为2的等比数列故（2）由（1）可得两式相减得=（3）又即当为偶数时，则当为奇数时，则综上：22.已知椭圆，过左焦点且斜率大于0直线交于两点，的中点为的垂直平分线交x轴于点.（1）若点纵坐标为，求直线的方程；（2）若，求的面积.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设直线，与椭圆方程联立，求出韦达定理，又因为点的纵坐标为，解得：或，便