托勒密定理与西姆松定理

4托勒密定理与西姆松定理托勒密(Ptolemy)定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)EDCBA即： 一、直接应用托勒密定理例1、 如图2，P是正ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PBPC分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗 若借助托勒密定理论证，则有PABC=PBACPCAB，AB=BC=AC PA=PB+PC二、完善图形 借助托勒密定理例2 、证明“勾股定理”：在RtABC中，B=90，求证：AC2=AB2BC2证明：如图，作以RtABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD 是圆内接四边形由托勒密定理有 ACBD=ABCDADBC 又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得AC2=AB2BC2例3 、如图，在ABC中，A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：ADBC=BD(ABAC)证明：连结CD，依托勒密定理有 ADBCABCDACBD 1=2， BD=CD 故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、构造图形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是实数，且a2b2=1，x2y2=1求证：axby1证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作RtACB和RtADB， 使ACa，BC=b， BDx，ADy 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的 据托勒密定理有 ACBDBCAD=ABCD CDAB1，axby1四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5、已知a、b、c是ABC的三边，且a2=b(bc)，求证：A=2B分析：将a2=b(bc)变形为aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰 梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c证明：如图，作ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、 DAAD=BC，ABD=BAC 又BDA=ACB(对同弧)，1=2 依托勒密定理有 BCAD=ABCDBDAC 而已知a2=b(bc)，即aa=bcb2 BAC=2ABC五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 、在ABC中，已知ABC=124， 分析：将结论变形为ACBCABBC=ABAC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密 定理，进而构造圆内接四边形 如图，作ABC的外接圆，作弦BD=BC，连结AD、CD 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理有 ACBDBCAD=ABCD 易证AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC，练习1.已知ABC中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。西姆松(Simson)定理（西姆松线） 注：例7、例8、例9、 例10、作业：1设AD是ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。2过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。求证：。3D、E、F分别在ABC的BC、CA、AB边上， AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。4以ABC各边为底边向外作相似的等腰BCE、 CAF、ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。5已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证：。6ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PEAB 于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BCEF=BFCE+BECF。7正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）8O为ABC内一点，分别以da、db、dc表示O到BC、CA、 AB的距离，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距离。 求证：（1）aRabdb+cdc; (2) aRacdb+bdc; (3) Ra+Rb+Rc2(da+db+dc)。9ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。 求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧拉线）10O1和O2与ABC的三边所在直线都相切，E、F、 G、H为切点，EG、FH的延长线交于P。求证：PABC。11如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD 上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC。1.分析：CEF截ABD（梅氏定理） 评注：也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一 作CF的平行线。2.分析：连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。 DEG截ABM（梅氏定理） DGF截ACM（梅氏定理） =1 评注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5.评注：托勒密定理6.评注：西姆松定理（西姆松线）7.评注：面积法8.评注：面积法9.评注：同一法10. 评注：同一法11. 证明：连结BD交AC于H。对BCD用塞瓦定理，可得 因为AH是BAD的角平分线，由角平分线定理， 可得，故。 过C作AB的平行线