C2016第九届一阶段优秀论文1114队c题

参赛参赛队队号号#1114#1114 第第九九届“认证杯”数学中国届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛数学建模网络挑战赛 承诺书承诺书 我们仔细阅读了第九届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们接受相应处理结果。 我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中 国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为：我们的参赛队号为：1114 参赛队员参赛队员 (签名签名) ： 队员 1： 队员 2： 队员 3： 参赛队教练员参赛队教练员 (签名签名)： 参赛队伍组别（例如本科组） ：参赛队伍组别（例如本科组） ： 参赛参赛队队号号#1114#1114 第第九九届“认证杯”数学中国届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）： 1114 队 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 参赛参赛队队号号#1114#1114 2016 年第年第九九届“认证杯”数学中国届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛第数学建模网络挑战赛第一一阶段论文阶段论文 基于青少年心理状态问题的研究 摘 要 鉴于当今社会校园霸凌事件发生频繁，对此，以青少年各年龄段的心理状况为研 究对象，利用影响心理状况的自变量的均值，方差及主成分分析的方法，通过建立各 年龄段的心理状况显著性差异模型，判断了各年龄段心理状况的显著差异性，并进一 步通过层次分析法和经典的多元线性回归方法建立数学模型，分析不同框架的主要影 响因素。 针对问题一，先对所给自变量的数据进行预处理，剔除异常点，提高研究变化趋 势准确性，用预处理后的数据进行均值比较，作出相应折线图，并分析了不同年龄段 的自变量的差异性。再利用统计软件对均值处理后的不同年龄段的各自变量（处理后 的数据）进行主成分分析和因子分析，得出新的主因子，再对新的主因子建立方差和 标准差统计模型，最后根据新的心理状况因子的方差浮动，得出各年龄段的心理状况 具有显著差异。 针对问题二，先选取正负两个框架中生命健康、生活方式、娱乐三个领域的评价 变量 A、B，建立 0-1 整数规划赋值并求出各年龄各领域各框架的因变量均值。再利用 统计软件对所有自变量进行主成分分析，建立不同框架的主要影响因素模型。并判断 出（基于）正向和负向框架的新主要影响因素的主因子分别为理智性、孤独化、情绪 化、冒险性、探索性、好奇性，然后定性和定量的分析不同框架的主因子，建立经典 的线性回归分析模型，并通过灵敏度分析和残差分析论证了模型具有合理性。 针对问题三，为了抑制校园霸凌事件的发生，先基于青少年的心理与性格上的偏 差，进行预防分析。再从青少年所需要的心理疏导出发，以家庭教育和学校教育为主 要方法，鼓励青少年多做心理健康咨询，从而完善青少年的心理教育。 关键词关键词：青少年心理状况 统计分析 线性回归分析 MATLAB 参赛队号: 1114 队 所选题目: C 题 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） 参赛参赛队队号号#1114#1114 Abstract Due to the incident in todays society bullying occurred frequently, which, to the psychological health of teenagers of all ages for the study, the mean, variance and principal components utilizing psychological status of the independent variables analyzed, through the establishment of psychology of all ages Availability significant difference model to determine significant differences in psychological status of all ages, and further develop the mathematical model by AHP and classical multiple linear regression, analysis of the main factors of different frameworks. A first for a given independent variable data preprocessing for the problem, removing outliers and improve the accuracy of the research trends, data preprocessed mean compared to the corresponding line graphs and analyzed from different ages difference variables. Re- use statistical software for each variable (the processed data) mean treated different ages principal component analysis and factor analysis, the new primary factor, and then the establishment of new primary factor variance and standard deviation statistical models, Finally, according to new psychological factor variance floating status, obtain mental health of all ages with a significant difference. For question two, first select the plus or minus two frames, lifestyle, entertainment evaluated in three areas of life and health variables A, B, and the establishment of 0-1 integer programming assignment determined dependent variable of all ages in all areas of the frameworks mean. Re-use statistical software for all arguments principal component analysis, the main factors affect different frame models. And determine primary (based on) the main factors the main factors of the new positive and negative frames were intellectuality, of loneliness, emotional, adventure, exploration, curiosity, and qualitative and quantitative analysis of different frameworks factor, the establishment of the classical linear regression model, and through sensitivity analysis and residual analysis demonstrates the model is reasonable. For question three, in order to suppress the occurrence of bullying incidents, the first based on the deviation of adolescent psychology and personality on the prevention analysis. And then divert from the psychological needs of adolescents, taking the family and school education as the main method to encourage young people to do more mental health counseling, psychological education in order to improve young people. 参赛参赛队队号号#1114#1114 目录目录 一、问题重述 . 1 二、问题分析 . 1 2.1 概论 . 1 2.2 问题一 . 1 2.3 问题二 . 1 2.4 问题三 . 1 三、模型假设 . 2 四、符号说明 . 2 五、模型的建立与求解 . 2 5.1 数据预处理 . 2 5.1.1 样本数据的重新组合 . 2 5.1.2 异常点判别 . 2 5.2 问题一的模型建立与求解 . 3 5.2.1 模型一：统计分析模型的建立 . 3 5.2.2 模型二：主成份分析模型的建立 . 9 5.2.3 模型求解. 11 5.3 问题二： 经典多元线性回归分析模型 . 12 5.3.1 模型三的建立 . 12 5.3.2 灵敏度分析和模型求解 . 27 六、分析报告 . 31 七、模型的优缺点 . 32 7.1 模型的优点 . 32 7.2 模型的缺点 . 32 九、附录 . 34 参赛参赛队队号号#1114#1114 1 一、问题重述 校园霸凌事件在众多媒体的报道下引起了社会各界广泛的关注。霸凌事件是多种 校园暴力中危害最大的一种。网络霸凌行为由于传播速度快，对学生造成的伤害往往 无法阻止，驱使青少年使用网络暴力最主要的诱因是年龄。针对不同年龄段的青少年 进行了一次心理状况的问卷调查。调查分为 5 个年龄段，这主要涉及生命教育、生活 方式、娱乐三个领域，分别包括正向和负向两个框架。其中因变量被设计成二选一式 的评价变量，使用 A 和 B 表示。其中自变量包括风险偏好、认知需要（18 个题目）、 决策风格（包括理智型、直觉型、依赖型、回避型、冲动型这 5 个维度，每个维度 5 个题目）三个主要方面，每个题目按照相应的选项计算得分。 问题一:通过分析附件一，建立模型判断各年龄段的心理状况是否具有显著差异。 问题二：建立数学模型，分析不同框架的主要影响因素。 问题三:针对校园霸凌事件给当地报纸写一份如何抑制校园霸陵事件的分析报告。 要求 500 字左右。 二、问题分析 2.12.1 概论概论 这是一个统计问题，通过数理统计分析数据和挖掘信息，希望研究出在不同年龄 段青少年心理状况的变化趋势，并通过分析研究在不同框架下影响青少年心理状况的 主要影响因素。结合以上分析给当地报纸写份关于如何抑制校园暴力事件的分析报告。 2.22.2 问题一问题一 数据统计的经过是一个漫长的过程，在题目所给的数据中，需要进行预处理，剔 除异常点，提高研究变化趋势准确性。对于各组变量之间的变化趋势研究，选取统计 分析模型，分析得出不同年龄阶段的心理状况是否具有差异。 2.32.3 问题二问题二 针对问题二，先选取正负两个框架中生命健康、生活方式、娱乐三个领域的评价 变量 A、B，建立 0-1 整数规划赋值并求出各年龄各领域各框架的因变量均值。再利用 统计软件对所有自变量进行主成分分析，建立不同框架的主要影响因素模型。并判断 出（基于）正向和负向框架的新主要影响因素的主因子分别为理智性、孤独化、情绪 化、冒险性、探索性、好奇性，然后定性和定量的分析不同框架的主因子，建立经典 的线性回归分析模型，并通过灵敏度分析和残差分析论证了模型具有合理性。 2.42.4 问题三问题三 问题一和问题二分析出的影响青少年心理健康状况最主要因素为理论依旧，给当 地报纸写一份关于如何抑制校园霸凌事件的分析报告。 参赛参赛队队号号#1114#1114 2 三、模型假设 1.假设各个自变量之间线性无关； 2.假设问卷调查是随机发到不同年龄青少年； 3.假设 20 岁以后人生观价值观都已被定型； 4.假设心理状况只与题目所给的变量有关 5.假设题目所给的数据真实有效。 四、符号说明 符 号 意 义 i Z 样本标准化的主成分（1,2,3i ） i M 7 种自变量表示心理状况（1,2,i 7） R 样本标准化的相关系数矩阵 i X 标准化后的 P 维随机变量（1,2,i n） 2 i h 公共因子的共性方差 Person 线性回归的相关性 五、模型的建立与求解 5.15.1 数据预处理数据预处理 5.1.1 样本数据的重新组合 通过对样本数据的观察，我们发现在原有数据分组中：9 岁组包含 8 到 13 岁 6 个 年龄；11 岁组包含 10 到 14 岁 5 个年龄；13 岁组包含 12 到 17 岁 6 个年龄；15 岁组包 含 14 到 18 岁 5 个年龄；17 岁组中包含 16 到 20 岁 5 个年龄，并且每个年龄段都有重 合的部分。 现在我们对 8 到 20 岁这 13 个年龄进行重新分组：9 岁组（8-10 岁）、11 岁组 （11-12 岁）、13 岁组（13-14 岁）、15 岁组（15-16 岁）、17 岁组（17-20 岁）。 5.1.2 异常点判别 通过对附件一的分析处理发现，在 8 岁和 20 岁两个年龄上分别只有一组数据，并 不具有代表性，可视为异常点剔除。因此，剔除异常点后的分组为：9 岁组（9-10 岁）、11 岁组（11-12 岁）、13 岁组（13-14 岁）、15 岁组（15-16 岁）、17 岁组 （17-19 岁）。 参赛参赛队队号号#1114#1114 3 5.25.2 问题一问题一的的模型模型建立与求解建立与求解 5.2.1 模型一：统计分析模型的建立 对数据预处理得到新分组进行数据分析，其中因变量 y 被设计成二选一式的评价 变量，使用 A 或 B 表示，自变量包括风险偏好、认知需要、理智型型决策风格、直觉 型决策风格、依赖型决策风格、回避型决策风格、冲动型决策风格，分别用 X1,X2，X3， X4，X5，X6，X7。首先对各年龄自变量数据求平均值得到如下表 1： 表 1：各年龄自变量数据平均值表 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 9 7.03125 86.30625 16.7625 14.48125 14.81875 12.09375 13.425 10 5.529412 83.37255 18.47059 16.26471 16.38235 13.19608 13.87255 11 7.80226 83.71751 18.32768 15.66667 15.54802 11.9209 12.58192 12 7.150943 85.22642 18.28302 16.0566 15.89623 13.17925 13.62264 13 6.591837 84.09694 18.80612 15.96429 15.85714 12.92857 12.82143 14 6.522727 83.59091 18.75 15.71591 15.80682 12.85227 13.05682 15 7.378151 86.42857 19.76471 16.47059 17.13445 13.57983 12.57983 16 6.811966 82.60684 18.68376 15.94872 16.29915 13.63248 13.65812 17 7.477124 82.81699 19.37908 15.97386 16.12418 12.65359 14.49673 18 7.053097 84.31858 19.15929 16.61947 16.81416 12.65487 13.34513 19 6.119403 81.1791 18.1791 15.58209 16.19403 12.77612 12.91045 由上表 1，可以得到每个年龄 7 个自变量数据的平均值，以便下面对问题的分析与 处理。将表 1 中数据按照新的年龄分组的各个变量分别取平均值，可以得到 5 个年龄 段各自变量数据平均值表，如下表 2： 表 2：5 个年龄段各自变量数据平均值表 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 9 岁组 6.280331 84.8394 17.61655 15.37298 15.60055 12.64492 13.64878 11 岁组 7.476602 84.47197 18.30535 15.86164 15.72213 12.55008 13.10228 13 岁组 6.557282 83.84393 18.77806 15.8401 15.83198 12.89042 12.93913 15 岁组 7.095059 84.51771 19.22424 16.20966 16.7168 13.60616 13.11898 17 岁组 6.883208 82.77156 18.90582 16.05847 16.37746 12.69486 13.5841 从表 2 中只能看到各年龄组 7 个自变量的平均值，无法直观看到各自变量变化趋 势。因此需要对每个自变量进行单独分析，绘出折线图。 参赛参赛队队号号#1114#1114 4 （1）风险偏好 通过对数据的分析整合，运用软件得到各年龄组风险偏好折线图，如下图 1： 图 1：各年龄组风险偏好折线图 从图 1 可以看到风险偏好在 11 岁组取得峰值， 11 岁组以后的年龄组风险偏好值 有所变化但幅度不大，说明 11 岁组对风险偏好的影响最大。 （2）认知需求 通过对数据的分析整合，运用软件得到各年龄组认知需求折线图，如下图 2： 图 2：各年龄组认知需求折线图 分析图 2 可以得到在 9 岁组的时候认知需求取得峰值，随后逐渐降低，在 15 岁组 的时候再次上升但达不到峰值，随后迅速降低，说明 9 岁和 15 岁组对认知需求的影响 最大。 （3）决策风格 决策风格包括了理智型决策风格、直觉型决策风格、依赖型决策风格、回避型决 策风格、冲动型决策风格。分别对每个折线图进行作图分析，运用软件得到各年龄组 理智型决策变量折线图，如下图 3、图 4、图 5、图 6、图 7： 5.5 6 6.5 7 7.5 8 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 风险偏好风险偏好 风险偏好 81 82 83 84 85 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 认知需求认知需求 认知需求 参赛参赛队队号号#1114#1114 5 图 3：各年龄组理智决策变量折线图 图 4：各年龄组直觉型决策变量折线图 图 5：各年龄组依赖型决策变量折线图 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 理智型决策变量理智型决策变量 理智型 14.8 15 15.2 15.4 15.6 15.8 16 16.2 16.4 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 直觉型决策变量直觉型决策变量 直觉型 15 15.5 16 16.5 17 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 依赖型决策变量依赖型决策变量 依赖型 参赛参赛队队号号#1114#1114 6 图 6：各年龄组回避型决策变量折线图 图 7：各年龄组冲动型决策变量折线图 分析图 3图 7 的折线走向，可以发现理智型决策变量、直觉型决策变量、依赖 型决策变量、回避性决策变量随着年龄组的增加直到在 15 岁组达到峰值，随后开始下 降，说明说明随着年龄的增加决策的理智性、直觉性、依赖性、回避性是逐渐增加的， 在 15 岁组达到峰值后可能受其他因素的影响使得决策的理智性、直觉性、依赖性、回 避性有所降低；而冲动型决策变量，在 9 岁组到 13 岁组折线趋近于凹函数减少，13 岁 组到 17 岁组折线趋近于凸函数增加，说明 13 岁组青山年在做决定的时候是最不冲动 的。 在分析显著影响的时候我们采用求不同年龄组的七个自变量方差的方法，方差越 大，说明该自变量对青少年心理状态影响最大。对重新分组后的各年龄组数据进行求 方差计算，得到下表 3： 12 12.2 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4 13.6 13.8 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 回避型决策变量回避型决策变量 回避型 12.4 12.6 12.8 13 13.2 13.4 13.6 13.8 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 冲动型决策变量冲动型决策变量 冲动型 参赛参赛队队号号#1114#1114 7 表 3：各年龄组自变量的方差和标准差 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 9 岁 组 方差 1.127759 4.303298 1.458786 1.590365 1.222422 0.607566 0.100151 标准 差 0.750919 1.46685 0.854045 0.89173 0.7818 0.551165 0.223775 11 岁 组 方差 0.212107 1.138405 0.000997 0.076023 0.060625 0.791722 0.541549 标准 差 0.325658 0.754455 0.02233 0.194965 0.174105 0.629175 0.52036 13 岁 组 方差 0.002388 0.128033 0.001575 0.030846 0.001266 0.002911 0.027704 标准 差 0.034555 0.253015 0.02806 0.12419 0.02516 0.03815 0.117695 15 岁 组 方差 0.160283 7.30281 0.584226 0.136174 0.348863 0.001386 0.581355 标准 差 0.283092 1.910865 0.540475 0.260935 0.41765 0.026325 0.539145 17 岁 组 方差 0.482498 2.465632 0.408172 0.274409 0.144252 0.004953 0.671902 标准 差 0.567156 1.28209 0.521646 0.427714 0.31011 0.057462 0.669279 通过表 3 我们可以知道不同年龄组各自变量变化的方差，为了更加直观地比较各 年龄组不同自变量的方差。应用软件绘出不同年龄组自变量数据的柱状图，如下图 8、 图 9、图 10、图 11、图 12： 图 8：9 岁组各自变量方差柱状图 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 方差 标准差 参赛参赛队队号号#1114#1114 8 图 9：11 岁组各自变量方差柱状图 图 10：13 岁组个自变量方差的柱状图 图 11：15 岁组各个自变量方差的柱状图 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 方差 标准差 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 方差 标准差 0 1 2 3 4 5 6 7 8 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 方差 标准差 参赛参赛队队号号#1114#1114 9 图 12：17 岁组各个自变量方差的柱状图 从图表可以看出无论是哪一个年龄组认知需要的方差和标准差都是最大的，说明 认知需要对青少年的心理影响是最大的。针对 9 岁组，认知需要是最重要的，也是最 不冲动的；针对 11 岁组，认知需要所占比重最大，回避型和冲动型紧随其后，说明这 个年龄组的青少年的心理还具有一定的回避性和冲动性；针对 13 岁组，除了认知需要 所占比重最重外，直觉型决策和冲动型决策紧随其后，说明这个年龄组的青少年做决 策的心理还具有直觉性和冲动性；针对 15 岁组，认知需要几乎占据了所有比重，说明 这个年龄段的青少年心理受认知需要影响非常大；针对 17 岁组，依旧是认知需要占最 大比重。 5.2.2 模型二：主成份分析模型的建立 上节介绍的统计分析模型在目前的文献中是最为常见的，但是对于本问题中的决 策风格而言，决策风格是由理智型决策风格、直觉型决策风格、依赖性决策风格、回 避性决策风格、依赖性决策风格所占比例决定的。使用模型一不能精确得出年龄与决 策风格的关系。因此我们使用更优化的模型：主成份分析和主因子分析模型来分析青 少年在各年龄段的心理状况是否具有显著差异。 5.2.2.1 主成分分析和主因子分析模型的介绍 主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综 合指标。主成分分析法的计算步骤为 1： （a）原始指标数据标准化采集 P 维随机向量 12 (,. ) T p xxxxn 个样品 12 (,.) T iiiip xxxx,1,2,.,in,np构造样本阵，对样本阵元素进行如下标 准 化 变 换 ： ijj ij j xx z s ，1,2,., ;1,2,.,in jp其 中 _ 1 n ij i x x n ， 2 _ 2 1 () 1 n ijj i j xx s n ，得标准化阵z； 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 风险偏好 认知需求 理智型 直觉型 依赖型 回避型 冲动型 方差 标准差 参赛参赛队队号号#1114#1114 10 （ b ） 对 标 准 化 阵z求 相 关 系 数 矩 阵 1 T i jp p Z Z RrX n ， 其 中 1 k ik j ij ZZ r n ，,1,2,.,i jp； （c）解样本相关矩阵R的特征方程0 p RI得p个特征根，确定主成分按 1 1 0.85 m j i p j j 确定m的值使其贡献率达 85%以上，对每个,1,2,., j jm，解方程 组 j Rbb得位特征向量 0 j b （d）将标准化后的指标变量转换为主成分 0, 1,2,., T ijij UZ bjm 1 U成为第 一主成分， 2 U称为第二主成分，, p U成为第p主成分对m个主对m个主成分进行加 权求和，即得最终评价值，权数为每个主成分的方差贡献率。 因子分析法目的是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间联系即将相关比较 密切的几个变量归在同一类中，每一类不可观测变量成为一个因子。以较少的几个因 子反映原资料的大部分信息。因子分析法为寻找这些公共因子的模型分析方法，以此 考察原变量间的联系与区别。因子分析法步骤 2： （a）原始数据 n p X ，计算样本均值和方差，进行标准化计算； （b）相关系数矩阵 ij p p Rr ； （c）样本相关矩阵的特征根和相应的标准正交特征向量 i I； （d）公共因子数； （e）公共因子的共性方差 2 i h； （f） 荷矩阵进行旋转，以求能更好地解释公共因子； （g）共因子作出专业性解释。 （3）模型的求解： 5.2.2.2 模型二的建立 分析表 1，各年龄自变量数据平均值表中的不同年龄组各决策风格平均值，运用 SPSS 软件编程求出决策风格的主成份分析提取公因子方差表，如下表 4： 表 4：主成分分析提取公因子方差 9 岁组 11 岁组 13 岁组 15 岁组 17 岁组 理智型 0.791 0.901 0.932 0.876 0.881 直觉型 0.597 0.595 0.576 0.611 0.454 依赖型 0.611 0.540 0.497 0.503 0.613 回避型 0.624 0.754 0.547 0.599 0.620 冲动型 0.739 0.729 0.660 0.701 0.725 参赛参赛队队号号#1114#1114 11 利用表 4 的数据，通过 SPSS 编程进行数据处理，将结果整理可以得到决策风格的 主成份分析解释的总方差表，如下表 5： 表 5：决策风格主成分分析解释的总方差 年龄组 成分 初始特征值 提取平方和载入 合计 方差的% 累积% 合计 方差的% 累积% 9 岁组 第一主成分 2.287 45.749 45.749 2.287 45.749 45.749 第二主成分 1.074 21.490 67.239 1.074 21.490 67.239 11 岁组 第一主成分 2.344 46.887 46.887 2.344 46.887 46.887 第二主成分 1.174 23.486 70.373 1.174 23.486 70.373 13 岁组 第一主成分 2.203 44.051 44.051 2.203 44.051 44.051 第二主成分 1.010 20.193 64.244 1.010 20.193 64.244 15 岁组 第一主成分 2.127 42.540 42.540 2.127 42.540 42.540 第二主成分 1.163 23.257 65.797 1.163 23.257 65.797 17 岁组 第一主成分 2.040 40.793 40.793 2.040 40.793 40.793 第二主成分 1.255 25.098 65.891 1.255 25.098 65.891 通过表 5 可以得到青少年在不同年龄组的主要决策风格。 例如，在 9 岁组中第一个主成分理智型的特征值为 2.287，并且累计解释了总体方 差的 45.749%，第二个主成份冲动型的特征值为 1.074，并且累计了总体方差的 67.239%。 在 13 岁组中第一个主成分是理智型，它的特征值是 2.203，并且累计了总体方差 的 44.051%，第二个主成分是冲动型，它的特征值是 1.010，并且累计了总体方差的 64.244%。 在 17 岁组中第一个主成分是理智型，它的特征值是 2.040，并且累计了总体方差 的 40.793%，第二个主成分是冲动型，它的特征值是 1.255，并且累计了总体方差的 65.891%。 5.2.3 模型求解 通过对模型一的建立与求解，不同年龄组的风险偏好的偏差有明显差异，其中差 异程度由大到小的排序为 9 岁组，17 岁组，11 岁组，15 岁组，13 岁组。说明不同年 龄段的风险偏好有显著差异；不同年龄组的认知需要偏差也有较大差异，差异程度由 大到小的排序为 15 岁组，9 岁组，17 岁组，11 岁组，13 岁组，说明不同年龄段青少 年的认知需要是有变化的，进而影响青少年的心理健康状态，也就是说不同年龄段的 认知需要有显著差异。 在模型一中，可以分析出在不同年龄阶段决策风格存在较大差异。基本上是由理 智型和冲动型决策风格决定的。而理智型和冲动型都偏向于模型二中的主因子一：情 绪化。但是通过模型二得到在 11 岁组中被回避型决策风格影响的主因子二在样本中占 据不少比例。所以不同年龄段对青少年的决策风格是有显著影响的。 而判断青少年的心理状况的指标分为风险偏好、认知需要和决策风格。综上所述， 我们可以得到“不同年龄段对青少年的心理健康状况是有显著影响”这一结论。为了 简洁的叙述这一结论，我们通过 visio 绘制了分析结果框图。如下图 6. 参赛参赛队队号号#1114#1114 12 9岁组 17岁组 15岁组 11岁组 13岁组 风险偏好 认知需要 决策风格 15岁组 9岁组 17岁组 11岁组 13岁组 9岁组 11岁组 13岁组 15岁组 17岁组 理智型，冲动型 理智型，回避型 理智型，冲动型 理智型，冲动型 理智型，冲动型 青少年心理健 康状况 图 13：分析结果框图 对于风险偏好和认知需要，不同年龄组所占影响比例从上往下以次减少；决策风格 是按照年龄组进行排序。 5.5.3 3 问题问题二：二： 经典经典多元线性回归多元线性回归分析分析模型模型 5.3.1 模型三的建立 1.经典多元线性回归模型介绍 3 假设有因变量 Y 与自变量 12 , m x xx,线性相关。（ ,1,2, , ttttm y x xx）（1,2,t n）为搜 集到的 n 组数据，它们满足以下回归模型： 011 2 2 t (1,2, ), ( )0,( ),( ,)0() (0,),(1,2, ) ttmtmt ttij yxxtn EVarCovij Ntn 或相互独立 (2.1.1) 参赛参赛队队号号#1114#1114 13 记 11121 21222 12 1. 1. . (1), . . 1. m m n nnnm xxx xxx CX xxx 101 22 1 . ,. . . nmn y y Y y 则回归模型(2.1.1)的矩阵形式为 2 , ( )0 ,( ), n YC EDIn (2.1.2) 或 2 , (0,), YC NnIn (2.1.3) 称模型(2.1.2)(2.1.3)为经典多元线性回归模型。在经典多元线性回归分析模型中， Y 是可观测的随即变量，而是不可观测的随机变量，C 是已知矩阵， 2 是未知参 数，并设nm，且( )1rank Cm。 在 经 典 多 元 线 性 回 归 分 析 问 题 中 ， 我 们 主 要 讨 论 的 是 模 型 中 参 数 2 01 (,) m 和的估计、检验等问题。 2模型的建立 首先需要确定能否对这些自变量进行主成份分析和因子分析。通过spss统计软件进 行分析得到能否进行主成分分析和因子分析的检验如下表6所示： 表 6：7 个自变量因子 KMD 和 Bratlett 检验 检验 变量 数值 取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量 0.522 Bratlett 的球形检测 近似卡方 1072.182 df 21 Sig. 0 参赛参赛队队号号#1114#1114 14 通过表6，可以得到KMO值为0.522，符合最低评判标准，Bartlett球形检验的显著 性水平p=0.0000.001,这表明7个自变量可以做因子分析。然后需要从7个自变量中提取 主因子。利用SPSS软件得到7个自变量因