2020新教材高中数学 第十一章 立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直课件 新人教B版必修第四册VIP

11.4.2平面与平面垂直,一、二面角1.思考(1)二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?,提示:无关.如图,根据等角定理可知,aob=aob,即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.,(2)随手打开一本书,发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点?提示:可以是锐角、直角、钝角、平角.问题2:两个半平面形成的二面角可以为0角吗?提示:可以.问题3:两个半平面成二面角的范围是什么?提示:0,180.,2.填空,一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,不大于90的角的大小.,3.做一做判断正误.(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.()(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.()(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角.()(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.()解析:(1)(3)不符合定义,故(1)(3)不正确;(2)中两条直线的夹角不能是钝角,当二面角的平面角为锐角时,两个角不会互补,故(2)错;由二面角的平面角的定义知(4)正确.答案:(1)(2)(3)(4),二、两个平面垂直及其判定定理、性质定理1.思考(1)过平面的一条垂线能作多少个平面与平面垂直?提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察.(2)经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个?提示:只有一个.(3)两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的?提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内.,2.填空定义:一般地,如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个平面互相垂直,记作.,3.做一做(1)如图所示,已知ab平面bcd,bccd,则图中互相垂直的平面共有()对.a.1b.2c.3d.4,解析:ab平面bcd,且ab平面abc和ab平面abd,平面abc平面bcd,平面abd平面bcd.ab平面bcd,abcd.又bccd,abbc=b,cd平面abc.cd平面acd,平面abc平面acd.故图中互相垂直的平面有平面abc平面bcd,平面abd平面bcd,平面abc平面acd.答案:c,(2)已知pa垂直于平行四边形abcd所在的平面,若pcbd,平行四边形abcd一定是.解析:因为pa平面abcd,所以pabd.又因为pcbd,papc=p,所以bd平面pac,所以bdac,所以平行四边形abcd一定是菱形.答案:菱形(3)在长方体abcd-a1b1c1d1中,求证:平面abcd平面bdd1b1.证明:bb1ab,bb1bc,abbc=b,bb1平面abcd.又bb1平面bdd1b1,平面abcd平面bdd1b1.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,求二面角的大小例1四边形abcd是正方形,pa平面abcd,且pa=ab.(1)求二面角a-pd-c的平面角的度数;(2)求二面角b-pa-d的平面角的度数;(3)求二面角b-pa-c的平面角的度数;(4)求二面角b-pc-d的平面角的度数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:(1)因为pa平面abcd,所以pacd.因为四边形abcd为正方形,所以cdad.又paad=a,所以cd平面pad.又cd平面pcd,所以平面pad平面pcd.所以二面角a-pd-c的平面角的度数为90.(2)因为pa平面abcd,所以abpa,adpa.所以bad为二面角b-pa-d的平面角.又由题意知bad=90,所以二面角b-pa-d的平面角的度数为90.,(3)因为pa平面abcd,所以abpa,acpa.所以bac为二面角b-pa-c的平面角.又四边形abcd为正方形,所以bac=45.所以二面角b-pa-c的平面角的度数为45.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,(4)作bepc于点e,连接de,bd,且bd与ac交于点o,连接eo,如图.由题意知pbcpdc,则bpe=dpe,从而pbepde.所以dep=bep=90,且be=de.所以bed为二面角b-pc-d的平面角.又pa平面abcd,所以pabc.又abbc,paab=a,所以bc平面pab.所以bcpb.设ab=a,则pa=ab=bc=a,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟作二面角的平面角的方法方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,aob为二面角-a-的平面角.,方法二(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,afe为二面角a-bc-d的平面角.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图所示,aob为二面角-l-的平面角.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是()a.相等b.互补c.相等或互补d.大小关系不确定解析:可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.答案:c,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,(2)已知rtabc,斜边bc,点a,ao,o为垂足,abo=30,aco=45,求二面角a-bc-o的大小.解:如图所示,在平面内,过点o作odbc,垂足为点d,连接ad.设oc=a,ao,bc,aobc.又aood=o,bc平面aod.而ad平面aod,adbc,ado是二面角a-bc-o的平面角.由ao,ob,oc知aoob,aooc.又abo=30,aco=45,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,面面垂直的判定例2如图所示,已知bsc=90,bsa=csa=60,又sa=sb=sc.求证:平面abc平面sbc.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,则adbc,sdbc,ads为二面角a-bc-s的平面角.在rtbsc中,sb=sc=a,在ads中,sd2+ad2=sa2,ads=90,即二面角a-bc-s为直二面角,故平面abc平面sbc.,证明:法一:(利用定义证明)bsa=csa=60,sa=sb=sc,asb和asc是等边三角形,令sa=sb=sc=ab=ac=a,则abc和sbc为共底边bc的等腰三角形.取bc的中点d,如图所示,连接ad,sd,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,法二:(利用判定定理)sa=sb=sc,且bsa=csa=60,sa=ab=ac,点a在平面sbc上的射影为sbc的外心.sbc为直角三角形,点a在sbc上的射影d为斜边bc的中点,ad平面sbc.又ad平面abc,平面abc平面sbc.,反思感悟证明:面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图所示,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=ad=1,aa1=2,m是棱cc1的中点.证明:平面abm平面a1b1m.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,证明:由长方体的性质可知a1b1平面bcc1b1,又bm平面bcc1b1,所以a1b1bm.又cc1=2,m为cc1的中点,所以c1m=cm=1.,又b1b=2,所以b1m2+bm2=b1b2,从而bmb1m.又a1b1b1m=b,所以bm平面a1b1m,因为bm平面abm,所以平面abm平面a1b1m.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,面面垂直的性质例3如图,ab是o的直径,c是圆周上不同于a,b的任意一点,平面pac平面abc.(1)判断bc与平面pac的位置关系,并证明.(2)判断平面pbc与平面pac的位置关系.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:(1)bc平面pac.证明:因为ab是o的直径,c是圆周上不同于a,b的任意一点,所以acb=90,所以bcac.又因为平面pac平面abc,平面pac平面abc=ac,bc平面abc,所以bc平面pac.(2)因为bc平面pac,且bc平面pbc,所以平面pbc平面pac.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练3如图所示,三棱锥p-abc的底面在平面内,且acpc,平面pac平面pbc,点p,a,b是定点,则动点c运动形成的图形是()a.一条线段b.一条直线c.一个圆d.一个圆,但要去掉两个点,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解析:因为平面pac平面pbc,acpc,ac平面pac,且平面pac平面pbc=pc,所以ac平面pbc.又因为bc平面pbc,所以acbc,所以acb=90,所以动点c运动形成的图形是以ab为直径的圆,除去a和b两点,故选d.答案:d,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探索型问题例4在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面abc,且ab=bc,能否在侧棱bb1上找到一点e,恰使截面a1ec侧面aa1c1c?若能,指出点e的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.解:如图,作ema1c于点m,因为截面a1ec平面aa1c1c,所以em平面aa1c1c.取ac的中点n,连接bn,mn.因为ab=bc,所以bnac.而aa1平面abc,aa1平面aa1c1c,所以平面abc平面aa1c1c,且交于ac,所以bn平面aa1c1c.所以bnem,bnmn.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,又be平面aa1c1c,平面bemn平面aa1c1c=mn,所以bemna1a.所以四边形bemn为平行四边形.因为an=nc,所以a1m=mc.,即e为bb1的中点时,平面a1ec平面aa1c1c.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.垂直关系的相互转化,2.探究型问题的两种解题方法(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,(1)求证:不论为何值,总有平面bef平面abc.(2)当为何值时,平面bef平面acd.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,(1)证明:因为ab平面bcd,所以abcd.因为cdbc,且abbc=b,所以cd平面abc.,所以不论为何值,恒有efcd.所以ef平面abc,ef平面bef.所以不论为何值,恒有平面bef平面abc.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,(2)解:由(1)知,beef,因为平面bef平面acd,所以be平面acd,所以beac.因为bc=cd=1,bcd=90,adb=60,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,注意由几何体的所属范围不同而进行的分类讨论典例已知在四边形abcd中,四个角abc,bcd,cda,dab都是直角.求证:四边形abcd是矩形.证明:(1)当四边形abcd是平面四边形时,易得其是矩形.,(2)若四边形abcd是空间四边形,可设点c在平面abd之外,如图所示,设c是点c在平面abd内的射影,因为ad平面abd,cc平面abd,所以ccad.又cdad,cccd=c,所以ad平面ccd,所以cdad.同理cbab.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,连接bd,在bcd中,bcd=90,故cd2+cb2=bd2.在平面四边形abcd中,因为dab=abc=adc=90,所以bcd=90,所以cd2+cb2=bd2.将代入得bd2bd2,矛盾,故四边形abcd不可能是空间四边形,只能是平面四边形,所以四边形abcd是矩形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,方法点睛1.要避免错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴.一些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练4如图所示,在长方体abcd-a1b1c1d1中,底面abcd为正方形,则平面acb1与对角面bb1d1d垂直吗?,解:四边形abcd是正方形,acbd.bb1底面abcd,acb1b.b1bbd=b,ac对角面bb1d1d.又ac平面acb1,平面acb1对角面bb1d1d.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1.直线l平面,l平面,则与的位置关系是()a.平行b.可能重合c.相交且垂直d.相交不垂