2020新教材高中数学 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用练习 新人教B版必修第四册

9.2正弦定理与余弦定理的应用课后篇巩固提升1.如图,设a,b两点在河的两岸,一测量者在a的同侧,在所在河岸边选定一点c,测出ac的距离为502 m,acb=45,cab=105后,就可以计算a,b两点的距离为()a.100 mb.503 mc.1002 md.200 m解析abc中,ac=502m,acb=45,cab=105,即abc=30,由正弦定理得absinacb=acsinabc,所以absin45=502sin30,解得ab=100.故选a.答案a2.如图,在坡度一定的山坡a处测得山顶上一建筑物cd的顶端c对于山坡的斜度为15,向山顶前进100米到达b后,又测得c对于山坡的斜度为45,若cd=50米,山坡对于地平面的坡角为,则cos =()a.23+1b.23-1c.3-1d.3+1解析在abc中,由正弦定理得bc=absinbacsinacb=100sin15sin(45-15)=50(6-2),在bcd中,sinbdc=bcsincbdcd=50(6-2)5022=3-1,又因为cos=sinbdc,所以cos=3-1.故选c.答案c3.某炮兵阵地位于a点,两个观察所分别位于c,d两点,已知acd为等边三角形,且dc=3 km,当目标出现在b点(a,b两点位于cd两侧)时,测得cdb=45,bcd=75,则炮兵阵地与目标的距离约为()a.1.1 kmb.2.2 kmc.2.9 kmd.3.5 km解析如图所示:cbd=180-cdb-bcd=180-45-75=60,在bcd中,由正弦定理,得332=bdsin75,故bd=2sin75.在abd中,adb=45+60=105,由余弦定理,得ab2=ad2+bd2-2adbdcos105,所以ab=5+232.9(km).故炮兵阵地与目标的距离为2.9km.故选c.答案c4.如图,为了测量某湿地a,b两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点c,d,e.从d点测得adc=67.5,从c点测得acd=45,bce=75,从e点测得bec=60.现测得dc=23千米,ce=2千米,则a,b两点间的距离为()a.6千米b.22千米c.3千米d.23千米解析在acd中,adc=67.5,acd=45dac=67.5ac=dc=23;在bce中,bce=75,bec=60cbe=45,利用正弦定理得到:cesincbe=bcsinbecbc=3,在abc中,acb=60,利用余弦定理得到ab2=ac2+bc2-2acbccosacbab=3.故选c.答案c5.如图,从气球a上测得正前方的河流的两岸b,c的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度是()a.240(3-1) mb.180(2-1) mc.30(3+1) md.120(3-1) m解析由题意可知:abc=105,bac=45,ac=60sinc=60sin30=120.由正弦定理bcsinbac=acsinabc,得bc=acsinbacsinabc=120sin45sin105=602sin60cos45+cos60sin45=120(3-1),即河流的宽度为120(3-1)m.故选d.答案d6.如图,为了测量山坡上灯塔cd的高度,某人从高为h=40的楼ab的底部a处和楼顶b处分别测得仰角为=60,=30,若山坡高为a=35,则灯塔高度是()a.15b.25c.40d.60解析过点b作bedc于点e,过点a作afdc于点f,如图所示,在abd中,由正弦定理得,absinadb=adsinabd,即hsin90-(90-)=adsin(90+),ad=hcossin(-),在rtadf中,df=adsin=hcossinsin(-),又山高为a,则灯塔cd的高度是cd=df-ef=hcossinsin(-)-a=40323212-35=60-35=25.故选b.答案b7.某船在a处看到灯塔s在北偏西40方向,它向正北方向航行50海里到达b处,看到灯塔s在北偏西76方向,则此时船到灯塔s的距离为海里.解析由条件可得,bsa+bas=76,所以bsa=76-40=36.在sab中,由正弦定理,得bssinbas=absinbsa,所以bs=absinbassinbsa=50sin40sin3654.7.答案54.78.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式,如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面,在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60和30,且座位a,b的距离为106米,则(1)an=米;(2)旗杆的高度为米.解析依题意可知nba=45,ban=180-60-15=105,所以bna=180-45-105=30.由正弦定理可知absinbna=nasinnba,所以an=absinbnasinnba=203米.所以在rtamn中,mn=ansinnam=20332=30米,所以旗杆的高度为30米.答案203309.某人向正东走了x km后,右转150,又走了3 km,此时距离出发点3 km,则x=.解析作出图形如下图所示:设起点为点a,向正东走xkm后到达点b,然后向右转150行走3km到达点c,此时ac=3km,那么在abc中,ab=x,bc=3,ac=3,b=30,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccosb,即3=x2+9-2x332,整理得x2-33x+6=0,解得x=3或23.答案3或2310.如图所示,近日我国渔船编队在岛a周围海域作业,在岛a的南偏西20方向有一个海面观测站b,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与b相距31海里的c处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40方向,以40海里/小时的速度向岛a直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达d处,此时观测站测得b,d间的距离为21海里.(1)求sinbdc的值;(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛a?分析(1)在bdc中,根据余弦定理求得余弦值,再求正弦值得到答案.(2)首先利用和差公式计算sinabd,abd中,由正弦定理可得ad长度,最后得到时间.解(1)由已知可得cd=4012=20,在bdc中,根据余弦定理求得cosbdc=212+202-31222120=-17,所以sinbdc=437.(2)由已知可得