第二章矩阵及其运算习题课PPT课件

线性代数习题讲解,.,2,第二章矩阵及其运算,一、要点复习,二、作业讲解,三、典型例题介绍,.,3,一、要点复习,.,4,NEXT,.,5,1.矩阵的概念,Back,.,6,所有元素的矩阵称为零矩阵，记为；当时，称为行矩阵；当时，称为列矩阵；当时，称为阶方阵；若两个矩阵的行数和列数对应相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.,几种常用方阵：（1）.对角方阵（当时，）,简称对角阵，可记为,.,.,7,（2）.单位矩阵（当时，；当时，）简称单位阵，可记为.（3）.上三角矩阵（当时，）,.,8,（4）.下三角矩阵（当时，）上三角矩阵和下三角矩阵统称三角矩阵.,2.矩阵的运算,设矩阵，则,矩阵相等,（对一切,），,为同型矩阵.,矩阵的和,为同型矩阵.,.,9,数乘矩阵为任意常数.,.,10,.,11,.,12,.,13,3.逆矩阵,.,14,.,15,（7）若,可逆，则,.,.,16,4.分块矩阵,.,17,.,18,.,19,.,20,.,21,.,5.初等变换与初等矩阵,定义2.7矩阵的初等行（列）变换指如下三种变换：,.,22,定义2.8满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：（1）各非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增大；（2）如果矩阵有零行，那么零行在矩阵的最下方.定义2.9满足下列条件的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵：（1）各非零行的第一个非零元素都是1；（2）各非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零.定义2.10形如下列形式的矩阵称为标准形矩阵：,定理2.4设,为,非零矩阵，那么,阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为标准形.,一定可以经过有限次初等行变换化为行,.,23,推论可逆矩阵的标准形是单位矩阵，并且只需要进行初等行变换就能将可逆矩阵化为单位矩阵.,.,24,.,25,6.矩阵的秩,），,.,26,.,27,秩的相关结论：,（3）,，,为非零常数；,.,28,.,29,求秩的方法（1）定义法：考察矩阵的所有子式，其最高阶不为0的子式的阶数为矩阵的秩.（2）初等变换法：运用初等行变化化矩阵为行阶梯形，其非零行的行数即为矩阵的秩.,.,30,二、作业讲解,1.设矩阵,.,31,2.计算下列矩阵的乘积,（3）,.,.,32,（3）,.,.,33,（2）,.,解：,.,34,.,35,.,，,.,36,9.求下列矩阵的逆阵：,（1）,.,37,10.解下列矩阵方程：,.,38,.,39,.,.,.,40,.,.,41,，,.,42,.,43,17.用初等变换法求下列矩阵的逆阵：,.,44,.,45,（2）设,.,46,，,.,47,.,48,解：（1）,.,49,解：本题可用初等变换化为阶梯形后考虑矩阵秩的情况；由于所给矩阵为3行3列的矩阵，也可先求|A|，根据|A|不为0时A为满秩矩阵的结论求出k，在|A|=0的时候分情况考虑A的秩.,.,50,三、典型例题介绍,.,51,注：求方阵幂的常用方法：（1）试乘法，即先计算方阵的二次幂、三次幂、甚至四次幂，找出规律后用归纳法证明；（2）展开法，即当所给矩阵能化为若干矩阵的乘积时，可通过展开连乘使中间许多矩阵的乘积消去或是提出，达到简化计算的目的(如习题中第4题)；（3）二项公式法即把所给矩阵分解为两个可交换矩阵的和，再利用矩阵二项式定理计算.,.,52,.,53,.,.,54,例3求矩阵的逆矩阵.,所以,.,.,55,.,.,56,注：此类证明题，均采用定义法证明，将已知等式化为的形式即可.,.,57,.,58,