流体力学第六章2011(流体波动)

.,1,第六章流体波动,从物理学角度来说，波动是指扰动（包含各种物理量的扰动）在空间的传播，且这种扰动的传播具有在时间、空间上的双重周期性。而流体的波动，是流体微团由于受力的作用，偏离平衡位置，并围绕某个平衡位置产生振动，振动在空间的传播而形成的。,波动是流体运动的一种重要形式；尤其是地球物理流体力学和大气动力学中的一种最为重要的流体运动形式。,.,2,重力水面波,.,3,.,4,.,5,.,6,.,7,第一节波动的基本概念第二节重力表面波和界面波,主要内容,本章介绍有关波动的基本概念，并以简单而具代表性的重力表面波和界面波为例，对流体波动进行详细的讨论，理解流体波动的基本概念，掌握一般波动方程的建立和求解方法。,.,8,一、波动的数学模型,一维水面波（微扰动）：,重力,浮力,辐散,辐合,H,h(x,t),第一节波动的基本概念,波动图象：反映了不同质点同一时刻分布图象。,.,9,振动与波动：当某一部分质点发生了偏离其平衡位置的振动之后，由于质点之间的相互联系和相互影响（连续介质），它将会引起另一部分质点的振动。这样，振动就从振源逐渐向外传播。这种振动的传播过程就称为波动。,.,10,纵波：流体质点振动方向与传播的方向一致。如声波。横波：振动方向与传播方向垂直(垂直和水平横波)。,这里依据波动与振动的关系，对波动进行划分：,垂直横波：垂直方向振动，水平方向传播，如重力波。水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向传播（东西传播），例如大气长波。,波动,波动的划分,.,11,500hPa多年平均冬季高度场。粗实线为5个型指数与局地500hPa高度相关系数的0.6等值线。（WallaceGutzler,1981）遥相关型：PNA：+-+-WA：-+-EA：-+-EU：-+WP：-+-,.,12,二、波参数,广义上：任何物理量在空间上、时间上的周期变化，均可称为波动，并可以将其表示为波动函数的形式：,波动的一般形式。,波参数是表征波动的重要参数。研究波动主要在于求解各种表征波动的参数及其形成机制。,.,13,（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移，反映了波动所具有的能量大小。（2）周期T：完成一次全振动所需要时间（质点振动），或波向前传播一个波长距离所需时间（波动）。频率f：单位时间内的振动次数。T=1/f,.,14,（3）波长L：波动在一个周期中传播的距离，固定时刻相邻的两同位相质点间的距离。,L,L,.,15,（4）位相：表示流体波动状态的物理量。等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面或波阵面）=常数等位相面是平面，称为平面波(如重力表面波)；等位相面是球面的，称为球面波（如电磁波）。,等位相面,.,16,（5）波数k：以相角表示的单位距离内含有波长为L的波的数目。,（6）圆频率：以相角表示的单位时间内振动的次数。,.,17,（7）相速度c：等位相（波阵面）的传播速度。,相速c,=常数,.,18,二维、三维波动,上面讨论的波动局限于一维情况，实际上，大多数波动并非是一维的，这涉及到二维、三维波动的问题。,同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：,.,19,其中：,位相的普遍形式：,y方向的波数,x方向的波数,z方向的波数,圆频率,三维波动的波参数,.,20,波数矢量垂直于等位相面（波阵面）（波数矢量即为波动传播的方向）,定义波数矢量为：,定义其模称为全波数：,x,y,二维为例,.,21,x,y,波长：,二维为例,.,22,定义,等位相面：=常数,相速度：,注意：共线，均为波移动的方向。,.,23,不满足矢量运算法则。,而x，y，z方向上的移速：,显然,.,24,第二节重力表面波和界面波,日常生活中，最形象且最直观的波动，就是由于重力作用所产生的水面波动（重力表面波）以及发生于不同性质流体界面的界面波，下面详细地讨论此类波动。,重力水面波,界面波,水,空气,流体2,流体1,.,25,考虑一维水面波(水渠波)。假设水面平静时水面高度为H为一常数。,一、水面（表面）重力波,一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态，而要发生起伏不平的变化，水面高度h将随空间位置和时间而变化，即：,H,x,z,.,26,可以为正也可以为负，并满足：,也就是认为水面受到扰动后产生的起伏是很小的。,.,27,流体波动是流体的一种特定的运动形态，应该遵循流体运动所满足的基本方程。不计粘性和旋转效应，不可压缩流体的一维波动水平运动方程为：,.,28,垂直方向近似满足静力平衡，流体压力可近似地表示为：,有：,流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。,x,z,p0,z,-z,.,29,自由表面形式的不可压缩流体的连续方程为：,水平运动方程：,.,30,问题：波动的研究对象是物理变量的扰动部分；方程是非线性的。（方程的线性化问题小扰动线性化方法）,描写波动运动的基本方程组,.,31,小（微）扰动线性化方法：,任何物理量可以表示为：,基本量（平均量）满足原来的方程,扰动量为一小量，其二阶以上项为高阶小量，可以略去。,基本量（平均量）,扰动量,.,32,方程的线性化：,这里考虑最简单的情形，假设基本态为静止的。,.,33,根据小扰动线性化方法，二次以上高阶小量可以略去。,描写水面重力波的闭合方程组,H为常数，其偏导数量可以略去。,.,34,重力,浮力,辐散,辐合,H,重力波形成机制的讨论：,.,35,波动方程的求解：,为了求解上式，考虑波动的形式解为：,将其代入以上方程：,水面重力波的相速公式。,化为只含一个变量,.,36,同样，为了求得，仍作如下假设：,这就是水面重力波的流速场。,不难求得：，于是最后有：,.,37,如图所示，流速为U（常数）的一维均匀水流，表面受到扰动而产生重力表面波：根据水平运动方程及不可压连续方程：采用线性化方法，导出描写流体波动的方程组；求重力表面波的相速度。,自由表面,U,x,z,H,.,38,上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常不考虑空气而已。下面讨论的上轻下重的流体间的界面波。,二、上轻下重流体间的界面波,.,39,上轻下重的流体间的界面波:,上层流体,下层流体,研究对象,.,40,根据前面的讨论，对于这样的波动，考虑下层流体作为研究对象，满足如下的方程组：,关键问题：上层流体的影响-主要是压力梯度项处理,.,41,在下层流体中，压力梯度力项为：,p0,p0,A,A,A”,B,B,B”,z1,.,42,也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面坡度来表示流体压力的水平梯度。,于是，最终可以将气压梯度力项表示为：,.,43,把气压梯度力项的代入方程，可得流体界面波下层流体的运动方程组：,采用小扰动线性化方法,.,44,可以得到其相速公式为