理论力学第三章刚体力学

.,理论力学,电子科技大学物理电子学院付传技Email:fcj,.,第三章刚体力学,刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。,.,3.2角速度矢量,3.1刚体运动的分析,第三章刚体力学,3.3欧勒角,3.4刚体运动方程与平衡方程,3.5转动惯量,3.6刚体的平动与绕固定轴的转动,3.7刚体的平面平行运动,3.8刚体绕固定点的运动,3.9重刚体绕固定点转动的解,3.10拉莫尔进动,.,3.1刚体运动的分析,1.描写刚体位置的独立变量,质点3个变量,质点组3n个变量,.,确定刚体在空间的位置，需要几个变量？,6个变量可以确定刚体位置,2.刚体运动的分类,平动的独立变量为三个,1）平动,定轴转动的独立变量只有一个,2）定轴转动,世界最大的摩天轮“伦敦眼”,平面平行运动的独立变量有三个,3）平面平行运动,定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。,4）定点转动,.,Euler定理,定点运动刚体的任何位移都可以通过绕过该定点某轴的一次转动来实现。,.,5）一般运动(Chasles定理),刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上绕该点的一个转动，即刚体的一般运动基点的平动绕基点的转动刚体一般运动的独立变量有六个,有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律,3.2角速度矢量,1.有限转动与无限小转动,.,无限小转动是矢量，它满足矢量加法交换律,证明,.,2）转动后：,1）转动前：,3）再转动后：,不计二阶微量，则有,交换转动次序，则有,已知对线位移，有,即,可得,2.角速度矢量,.,角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）,.,正交变换对于作定点运动的刚体，如何描述其转轴的取向？一种可行的方法是，以定点O为原点，建立两个坐标系：一个固定在地球上，称为空间坐标系或静止坐标系，另一个固定在刚体上，称为本体坐标系，也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取向。,3.3欧勒角,.,.,.,.,转动矩阵的性质：,.,.,.,.,.,.,.,张量,.,.,.,求证C为一张量,.,.,讨论阶数N取几种特定值的张量,.,.,.,.,.,用9个方向余弦描述刚体的定点转动引入了冗余的参数，实际上只需要用3个独立的参数就可以确定它在任何一个时刻的位形。在文献中可以找到多种对这组参量的描述，但最有用的是欧勒角。现在，我们来引入这些角度，并用它们来表示变换矩阵。,1.欧勒角,节线ON,进动角,自转角,章动角,Z轴位置由，角决定,.,.,.,将3个矩阵按照从右到左的顺序相乘，便得到从空间系到本体系的变换矩阵,.,.,2.欧勒运动学方程,.,.,1.力系的简化,3.4刚体运动方程与平衡方程,力的作用线不能随意移动,力的可传性原理,.,共点力系的简化平行四边形法则,共面非平行力系的简化力的可传性原理+平行四边形法则,平行力系的简化合力的量值和方向由代数和确定合力的作用线用力矩关系确定（合力对垂直于诸力的某轴的力矩与诸分力对同一轴线力矩的代数和相等）,.,力偶矩,.,空间力系的简化,空间力系可简化为对某一简化中心的主矢和主矩,2.刚体运动微分方程,质心的运动方程,对质心的角动量定理,思路将作用在刚体上的力简化为过质心的力及对质心的力矩。,6个方程正好确定刚体的6个独立变量,动能定理可作为辅助方程,.,3.刚体平衡方程,对共面力系，有,.,例p171，如图，求A处的摩擦系数。,解是共面力系的平衡问题,解出,1.刚体的动量矩,3.5转动惯量,刚体对O点的动量矩,.,令,有,.,2.刚体的转动动能,3.转动惯量,转动惯量,.,令,回转半径,平行轴定理,4.惯量张量和惯量椭球,对质量连续分布的刚体，转动惯量,注意刚体绕不同轴转动，转动惯量不同,至转动瞬轴的垂直距离,是否有简单的计算公式？,.,因为,由,可得,上式也可用惯量张量表出,.,一般说来，惯量张量矩阵的每个元素都是时间的函数，且与坐标系的选择有关，但在本体坐标系中这些矩阵元不随时间变化。,惯量椭球方程,在转动轴上取线段,Q点的坐标,利用,得到,.,在各种本体坐标系中，有一类特别重要，就是主轴坐标系。惯量张量矩阵在主轴坐标系中简单地取对角形式。,5.惯量主轴及其求法,.,.,这种使惯量张量矩阵取对角形式的坐标系称为主轴坐标系，它的3个互相垂直的坐标轴称为惯量主轴。对角元称为主转动惯量。由初始坐标系到主轴坐标系的正交变换称为主轴变换。,一般坐标系下的惯量椭球,若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量椭球,动能和角动量简化为,一般坐标系下的惯量椭球,主轴坐标系下的惯量椭球,.,惯量主轴的求法,从数学方面看，就是解析几何里求二次曲面主轴的方法，或者线性代数里求本征值的方法。,在力学里，对于具有对称性的均匀刚体，可利用对称性方便地求出。,x轴对称(x为主轴),xy面对称(z为主轴),.,例均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。p182,解（A）直接用定积分,.,解（B）用(3.5.15)计算,.,解（C）取惯量主轴为坐标轴,.,3.6刚体的平动与绕固定轴的转动,1.刚体平动,2.定轴转动,定轴转动时只有一个变量，用角位移就可以确定刚体位置。,.,定轴转动动力学方程,机械能守恒,.,例复摆,解运动微分方程,由转动方程,周期,.,讨论等值单摆长,若以O为悬点,振动周期,3.定轴转动轴上的附加力,刚体作定轴转动，可看作是AB两点不动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可以动量定理和动量矩定理求运动和约束反力。,.,为平衡方程，可求静约束反力。,为运动方程，可求动约束反力。,要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有,该方程组有解的条件是xc,yc,Iyz和Izx同时为零，即重心在转动轴（惯量主轴）上。,.,例2涡轮可以看作是一个均质圆盘由于安装不善，涡轮转动轴与盘面法线成交角1o巳知涡轮圆盘质量为20千克，半径r=0.2米，重心O在转轴上，O至两轴承A与B的距离各为a=b0.5米设轴以12000转分的角速度匀速转动时，试求轴承上某一时刻的最大压力。,.,.,代入数据得附加压力,静压力为,静约束反力,动约束反力,平面平行运动刚体中的任一点始终在平行于某固定平面的平面内运动。,3.7刚体的平面平行运动,1.平面平行运动运动学,平面平行运动=基点平动+绕基点的转动,加速度表达式,P点对O点的绝对加速度,A点相对O点加速度,P点的相对A点加速度,在固定参考系的表示,刚体角速度不为零时，在任一时刻恒有一点的速度为零，称为转动瞬心。,2.转动瞬心,对实验室坐标系,对固着刚体坐标系,利用转动瞬心C与刚体上任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心,转动瞬心的求法,转动瞬心C在固定平面xy上的轨迹称为空间极迹，而在薄片上（动平面）的轨迹称为本体极迹。刚体的运动是本体极迹在空间极迹上的无滑滚动。例如车轮在轨道上的滚动。,.,例1试用转动瞬心法求椭圆规尺M点的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。,转动瞬心,空间极迹,本体极迹,解,.,3.平面平行运动动力学,平面平行一般分解为绕过质心C点的轴的转动和质心C的平动。,若外力只有保守力作功，刚体的机械能守恒,质心平动动能,绕质心轴转动动能,绕过质心轴的转动方程,.,例2无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。,解（A）机械能守恒定律,动能,势能,机械能,求微商，得,实心圆柱体,空心圆柱体,不能求约束反力,质心C点的平动方程：,绕质心C点的转动方程：,联立方程可求得：,解（B）运动定理,刚体定点转动的例子,3.8刚体绕固定点的运动,陀螺,常平架,.,1.刚体定点转动运动学,定点转动的独立变量有三个，其中两个确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转动的角度。,定点转动时，转动轴的方向随时间变化，转动瞬轴在空间描绘的锥面称空间极面，在刚体内描绘的锥面称本体极面。,定点转动时，一个角速度矢量（有三个分量）就足以描述刚体运动。,转动加速度,向轴加速度,速度,加速度,解：这个是一般运动问题,例B当飞