2020版高考数学二轮复习 第二篇 专题突破 2.6 统计与概率 解答题 2 概率与统计的综合应用课件 理

第2课时概率与统计的综合应用,考向一古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题【例1】(2018合肥模拟)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将,该小球放回箱子中摇匀,然后,乙从该箱子中摸出一个小球.,(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率.(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？,【题眼直击】,【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.,(1)设甲获胜的事件为a,则事件a包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个,故所求概率p(a)=,(2)设甲获胜的事件为b,乙获胜的事件为c.事件b所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个.则p(b)=,所以p(c)=1-p(b)=.因为p(b)p(c),所以这样规定不公平.,【拓展提升】求解互斥事件、对立事件的概率的方法(1)先利用条件判断所给的事件是互斥事件,还是对立事件.,(2)将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率.(3)准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率.,【变式训练】从某学校的1600名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组155,160),第二组160,165),第八组190,195,如图是按上述分组方,法得到的频率分布直方图的一部分,第六组的人数为4人.,(1)求第七组的频率.(2)估计该校1600名男生中身高在180cm以上(含180cm)的人数.(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,设他们的身高分别为x,y,记事件e=(x,y)|x-y|5,求事件e的概率.,【解析】(1)第六组的频率为=0.08.所以第七组的频率为:1-0.08-5(0.0082+0.016+0.042+0.06)=0.06.,(2)由直方图得后三组频率和为0.08+0.06+0.0085=0.18,所以1600名男生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为:0.181600=288(人).,(3)第六组180,185)的人数为4人,设为a,b,c,d,第八组190,195的人数为2人.设为a,b,则有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aa,ba,ca,da,ab,bb,cb,db,ab共15种情况.,因事件e=(x,y)|x-y|5发生时为当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件e包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,ab共7种情况.故p(e)=.,考向二期望与方差的综合应用【例2】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产a,b两种奶制品.生产1吨a产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨b产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天生产b产品的产量不超过a产,品产量的2倍,设备每天生产a,b两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量w(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为世纪金榜导学号,该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利z(单位:元)是一个随机变量.(1)求z的分布列和期望.(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.,【题眼直击】,【解析】(1)设每天a,b两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,目标函数为z=1000 x+1200y.,当w=12时,表示的平面区域如图1,三个顶点分别为a(0,0),b(2.4,4.8),c(6,0).将z=1000 x+1200y变形为y=,当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=在y轴上的截距最大,最大获利z=zmax=2.41000+4.81200=8160.,当w=15时,表示的平面区域如图2,三个顶点分别为a(0,0),b(3,6),c(7.5,0).将z=1000 x+1200y变形为y=,当x=3,y=6时,直线l:y=在y轴上的截距最大,最大获利z=zmax=31000+61200=10200.,当w=18时,表示的平面区域如图3,四个顶点分别为a(0,0),b(3,6),c(6,4),d(9,0).将z=1000 x+1200y变形为y=,当x=6,y=4时,直线l:y=在y轴上的截距最大,最大获利z=zmax=61000+41200=10800.,故最大获利z的分布列为因此,e(z)=81600.3+102000.5+108000.2=9708.,(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率p1=p(z10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.,【拓展提升】计算期望与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差,可直接用定义或公式求.,(2)已知随机变量x的期望、方差,求x的线性函数y=ax+b的期望、方差和标准差,可直接用期望及方差的性质求.(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),则可直接利用它们的期望、方差公式来求.,【变式训练】(2019济南一模)2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率,为庆祝该节日,某校举办的数学嘉年华活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第,一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲第一,关、第二关、第三关的成功概率分别为选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功互不影响.,(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率.(2)设该学生所得学豆总数为x,求x的分布列与数学期望.,【解析】(1)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件a,“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件a1,“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件a2,则a1,a2互斥,p(a1)=p(a2)=p(a)=p(a1)+p(a2)=,(2)x所有可能的取值为0,5,15,35,p(x=0)=p(x=5)=p(x=15)=p(x=35)=,所以,x的分布列为:e(x)=0+5+15+35=.,考向三随机变量分布列与统计的综合【例3】(2019鹤岗一模)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商,为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量.t(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.世纪金榜导学号,(1)将t表示为x的函数.(2)根据直方图估计利润t不少于57000元的概率.,(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量x100,110),则取x=105,且x=105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求t的数学期望.,【题眼直击】,【解析】(1)当x100,130)时,t=500x-300(130-x)=800x-39000,当x130,150时,t=500130=65000.所以t=,(2)由(1)知利润t不少于57000元,当且仅当120x150.由直方图知需求量x120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润t不少于57000元的概率的估计值为0.7.,(3)依题意可得t的分布列为所以e(t)=450000.1+530000.2+610000.3+650000.4=59400.,【拓展提升】随机变量分布列与统计的综合问题的解题思路(1)寻找问题中随机变量的统计意义.(2)综合统计中相关图、表、数据,明确相关联的随机变量的分布特征.(3)根据随机变量的分布特征进一步解决相关问题.,【变式训练】(2019枣庄一模)一次测试中,为了了解学生的学习情况,从中抽取了n个学生的成绩(满分为100分)进行统计.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数,的茎叶图(图中仅列出得分在50,60),90,100的数据).,(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值.(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名参加志愿者活动,设x表示所抽取的3名同学中得分在80