2020版高考数学二轮复习 第二篇 专题突破 2.5 解析几何 解答题 1 轨迹与方程问题课件 理

第1课时轨迹与方程问题,考向一直接法求轨迹方程【例1】(2019全国卷)已知点a(-2,0),b(2,0),动点m(x,y)满足直线am与bm的斜率之积为-.记m的轨迹为曲线c.,(1)求c的方程,并说明c是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交c于p,q两点,点p在第一象限,pex轴,垂足为e,连结qe并延长交c于点g.（）证明：pqg是直角三角形；（）求pqg面积的最大值.,【题眼直击】,【解析】(1)由题设得,化简得(|x|2),所以c为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.,(2)()设直线pq的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由得x=.记u=,则p(u,uk),q(-u,-uk),e(u,0).于是直线qg的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.,设g(xg,yg),则-u和xg是方程的解,故xg=由此得yg=.从而直线pg的斜率为所以pqpg,即pqg是直角三角形.,()由()得|pq|=2u,|pg|=所以pqg的面积s=,设t=k+,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.因为s=在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,s取得最大值,最大值为.因此,pqg面积的最大值为.,【拓展提升】直接法求轨迹方程的一般步骤(1)建立恰当的直角坐标系;(2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程;,(3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为:“建系、设点、列式、化简”.,【变式训练】(2019郑州一模)已知动点p到定点f(1,0)和直线l:x=2的距离之比为,设动点p的轨迹为曲线e,过点f作垂直于x轴的直线与曲线e相交于a,b两点,直线l:y=mx+n与曲线e交于c,d两点,与线段ab相交于一点.(与a,b不重合),(1)求曲线e的方程.(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形acbd的面积是否有最大值,若有,求出其最大值,及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.,【解析】(1)设点p(x,y),由题意可得,整理可得:+y2=1.故曲线e的方程是+y2=1.,(2)设c(x1,y1),d(x2,y2),由已知可得:|ab|=,当m=0时,不合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得:=1,即m2+1=n2,联立,消去y得(m2+)x2+2mnx+n2-1=0.=4m2n2-4(n2-1)=2m20,x1=所以,x1+x2=,x1x2=,|ab|x2-x1|=当且仅当2|m|=,即m=时等号成立,此时n=.经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.直线y=x+和直线y=-x-不与ab线段相交,故舍去.,考向二定义法求轨迹方程【例2】(1)已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，求动圆圆心m的轨迹方程,(2)如图，已知abc的两顶点坐标a(1，0)，b(1,0)，圆e是abc的内切圆，在边ac，bc，ab上的切点分别为p，q，r，|cp|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点c的轨迹为曲线m.求曲线m的方程,【题眼直击】,【解析】(1)如图所示,设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b,则有|mc1|-|ac1|=|ma|,|mc2|-|bc2|=|mb|.又|ma|=|mb|,所以|mc2|-|mc1|=|bc2|-|ac1|=3-1=2,即动点m到两定点c2,c1的距离的差是常数2,且2|mc1|,故动圆圆心m的轨迹为以定点c2,c1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.,设动圆圆心m的坐标为(x,y),则动圆圆心m的轨迹方程为x2-=1(x-1).,(2)由题知|ca|+|cb|=|cp|+|cq|+|ap|+|bq|=2|cp|+|ab|=4|ab|,所以曲线m是以a,b为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线m:=1(ab0,y0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线m的方程为:=1(y0).,【拓展提升】定义法求轨迹方程的步骤(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义.(2)设标准方程,求方程中的基本量.(3)求轨迹方程.,【变式训练】(2016全国卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为a,直线l过点b(1,0)且与x轴不重合,l交圆a于c,d两点,过b作ac的平行线交ad于点e.,(1)证明|ea|+|eb|为定值,并写出点e的轨迹方程.(2)设点e的轨迹为曲线c1,直线l交c1于m,n两点,过b且与l垂直的直线与圆a交于p,q两点,求四边形mpnq面积的取值范围.,【解析】(1)圆a整理为(x+1)2+y2=16,点a坐标为(-1,0),如图,因为beac,则acb=ebd,由|ac|=|ad|,则adc=acd,所以ebd=edb,则|eb|=|ed|,所以|ae|+|eb|=|ae|+|ed|=|ad|=4.所以e的轨迹为一个椭圆,方程为=1(y0);,(2)c1:=1;设l:x=my+1,因为pql,设pq:y=-m(x-1),联立l与椭圆c1,得(3m2+4)y2+6my-9=0;则|mn|=|ym-yn|,圆心a到pq距离d=所以|pq|=所以smpnq=|mn|pq|=12,8).,考向三相关点(代入)法求轨迹方程【例3】设f(1,0)，m点在x轴上，p点在y轴上，且，当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹方程,【题眼直击】,【解析】设m(x0,0),p(0,y0),n(x,y),因为=(x0,-y0),=(1,-y0),所以(x0,-y0)(1,-y0)=0,即x0+=0.由得(x-x0,y)=2(-x0,y0),所以,所以-x+=0,即y2=4x.故所求的点n的轨迹方程是y2=4x.,【拓展提升】相关点法求轨迹方程的步骤(1)与动点n(x,y)相关的点p(x0,y0)在已知曲线上运动.(2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y).(3)将x0,y0代入已知曲线方程.(4)整理关于x,y的关系式得n的轨迹方程.,【变式训练】一种作图工具如图1所示.o是滑槽ab的中点,短杆on可绕o转动,长杆mn通过n处铰链与on连接,mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动,且dn=on=1,mn=3.当栓子d在滑槽ab内作往复运动时,带动n绕o转动一周(d不动时,n也不动),m处的笔尖画出的曲线记为c.以o为原点,ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.,求曲线c的方程