2013届高考数学知能演练轻松闯关专题训练：专题四第2讲知能演练轻松闯关 Word版含答案

12012山西四校联考如图，四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sdada，点e是sd上的点，且dea011求证对任意的0,1，都有acbe；2若二面角caed的大小为60，求的值解1证明如图，建立空间直角坐标系dxyz，则aa,0,0，ba，a,0，c0，a,0，d0,0,0，e0,0，a，a，a,0，a，a，a，acbe0对任意0,1都成立，acbe即对任意的0,1，都有acbe2显然n0,1,0是平面ade的一个法向量，设平面ace的法向量为mx，y，z，a，a,0，a,0，a，acaeerror，即error，error，令z1，则xy，m，1，二面角caed的大小为60，cosn，m，nm|n|m|122120,1，2222012长春调研如图，在底面为直角梯形的四棱锥pabcd中，adbc，abc90，pd平面abcd，ad1，ab，bc431求证bdpc；2求直线ab与平面pdc所成的角的大小；3设点e在棱pc上，若de平面pab，求的值pepc解如图，在平面abcd内过点d作直线dfab，交bc于点f，以d为坐标原点，da、df、dp所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系dxyz，则a1,0,0，b1，0，d0,0,0，c3，0331证明设pda，则p0,0，a，1，0，3，a，bd3pc3330，bdpcbdpc2由1及pd平面abcd易知bd平面pdc，则就是平面pdc的一个法向量db0，0，1，0ab3db3设ab与平面pdc所成的角的大小为，则sin|dbab|db|ab|32332090，60，即直线ab与平面pdc所成的角的大小为603由题意知，0，0，0,0，a，1,0，a，3，a，ab3dppapc3，3，a，pepcpe30,0，a3，adedppe33，aa3设nx，y，z为平面pab的法向量，则error，即error令z1，得xa，na,0,1de平面pab，n0，de3aaa0，即a140，a0，1432012郑州质量预测如图，在四棱锥sabcd中，abad，abcd，cd3ab3，平面sad平面abcd，e是线段ad上一点，aeed，sead31证明平面sbe平面sec；2若se1，求直线ce与平面sbc所成角的正弦值解1证明平面sad平面abcd，平面sad平面abcdad，se平面sad，sead，se平面abcd，be平面abcd，sebeabad，abcd，cd3ab3，aeed，3aeb30，ced60bec90，即bece又secee，be平面sec，be平面sbe，平面sbe平面sec2由1知，直线es，eb，ec两两垂直如图，以e为原点，eb为x轴，ec为y轴，es为z轴，建立空间直角坐标系则e0,0,0，c0,2，0，s0,0,1，b2,0,0，30，2，0，2，2，0，0，2，1ce3cb3cs3设平面sbc的法向量为nx，y，z，则error，即error，令y1，得x，z233平面sbc的一个法向量为n，1,233设直线ce与平面sbc所成角的大小为，则sin|，nce|n|ce|14直线ce与平面sbc所成角的正弦值为1442012高考江西卷在三棱柱abca1b1c1中，已知abacaa1，bc4，点a1在底面abc的投影是线5段bc的中点o1证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；2求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值解1证明连接ao，在aoa1中，作oeaa1于点e因为aa1bb1，得oebb1因为a1o平面abc，所以a1obc因为abac，oboc，得aobc，所以bc平面aa1o，所以bcoe，所以oe平面bb1c1c又ao1，aa1，ab2bo25得aeao2aa1552如图，分别以oa，ob，oa1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则a1,0,0，b0,2,0，c0，2,0，a10,0,2，b11,2,2，由得点e的坐标是，0，ae15aa14525由1得平面bb1c1c的法向量是，0，oe4525设平面a1b1c的法向量nx，y，z，由error得error令y1，得x2，z1，即n2,1，1，所以cos，n，oeoen|oe|n|3010即平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值是301052012山西适应性考试如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，pa平面abcd，paab，m，n分别是线段pb，ac上的动点，且不与端点重合，pman1求证mn平面pad；2当mn的长最小时，求二面角amnb的余弦值解1证明过m作ba的平行线交pa于点e，过n作ba的平行线交ad于f点，连接ef，设pmana，因为menf，menfa，22所以四边形mefn为平行四边形，所以mnef又因为ef平面pad，mn平面pad，所以mn平面pad2由1知mnef，在rteaf中，设afx，则可求得ea1x所以mn2ef2af2ea2x21x2，12当且仅当x时取等号，此时mn的长最小，且m，n分别为pb，ac的中点12如图，以a为坐标原点，射线ab为x轴的正半轴建立空间直角坐标系axyz，则a0,0,0，m，0，n，0，b1,0,0，所以，0，0，0，12121212am1212an1212bm1212，0bn1212设平面amn的法向量mx，y，z，则error，即error，令x1，可取m1，1，1设平面bmn的法向量为nx1，y1，z1，则error，即error，令x11，则可取n1,1,1所以cosm，n，mn|m|n|13故二面角amnb的余弦值为1362012西城区期末考试如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abbc2aa1，abc90，d是bc的中点1求证a1b平面adc1；2求二面角c1adc的余弦值；3试问线段a1b1上是否存在点e，使ae与dc1成60角若存在，确定e点位置；若不存在，说明理由解1证明连接a1c，交ac1于点o，连接od由abca1b1c1是直三棱柱，得四边形acc1a1为矩形，o为a1c的中点又d为bc的中点，所以od为a1bc的中位线，所以a1bod，因为od平面adc1，a1b平面adc1，所以a1b平面adc12由abca1b1c1是直三棱柱，且abc90，得ba、bc、bb1两两垂直以bc、ba、bb1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系bxyz设ba2，则b0,0,0，c2,0,0，a0,2,0，c12,0,1，d1,0,0，所以1，2,0，2，2,1adac1设平面adc1的法向量为nx，y，z，则有error所以error取y1，得n2,1，2易知平面adc的一个法向量为v0,0,1所以cosn，vnv|n|v|23因为二面角c1adc是锐二面角，所以二面角c1adc的余弦值为233假设存在满