2021版高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第3节 空间点、线、面之间的位置关系课时跟踪检测 理 新人教A版

第三节空间点、线、面之间的位置关系a级基础过关|固根基|1.到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为()a1b4c7d8解析：选c当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过ab，bd，cd，ac的中点时，满足条件因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个，所以满足条件的平面共有7个，故选c2在下列命题中，不是公理的是()a平行于同一个平面的两个平面相互平行b过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面c如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内d如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选a选项a是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的3若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()a一定平行b一定相交c一定是异面直线d一定垂直解析：选d两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直故选d4空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是()a6b12c12d24解析：选a如图，已知空间四边形abcd，对角线ac6，bd8，易证四边形efgh为平行四边形，efg或fgh为ac与bd所成的角，大小为45，故s四边形efgh34sin 456.故选a5(2019届南宁市摸底联考)在如图所示的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱b1b，ad的中点，异面直线bf与d1e所成角的余弦值为()abcd解析：选d如图，过点e作emab，过m点作mnad，取mn的中点为g，连接ne，d1g，则平面emn平面abcd，易知egbf，所以异面直线bf与d1e的夹角为d1eg(或其补角)，不妨设正方体的棱长为2，则ge，d1g，d1e3，在d1eg中，cosd1eg，故选d6已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()a与a，b都相交b只能与a，b中的一条相交c至少与a，b中的一条相交d与a，b都平行解析：选c如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾故选c7下列命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若m，m，l，则ml.a1b2c3d4解析：选b根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.8(2020届陕西摸底)将正方形abcd中的acd沿对角线ac折起，使得平面abc平面acd，则异面直线ab与cd所成的角为()a90b60c45d30解析：选b解法一：如图，连接bd，取ac，bd，ad的中点分别为o，m，n，连接on，om，mn，则由三角形中位线定理知，oncd，mnab，所以onm或其补角为所求的角连接bo，od，因为abbc，所以boac又平面abc平面acd，平面abc平面acdac，ob平面abc，所以bo平面acd又do平面acd，所以bood设原正方形abcd的边长为2，则bood，所以bd2，所以ombd1，所以onmnom1，则omn是等边三角形，所以onm60，即异面直线ab与cd所成的角为60，故选b解法二：如图，设ac的中点为o，连接do，ob，因为addc，所以doac因为平面abc平面acd，平面abc平面acdac，od平面acd，所以do平面abc延长bo到e，使得eobo，连接de，ae，ce，易证得四边形abce为正方形，所以abec，所以dce或其补角为异面直线ab与cd所成的角设ac2a，则ecedcda，所以dce为等边三角形，所以dce60，即异面直线ab与cd所成角为60，故选b9(2020届石家庄摸底)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abacaa1，bc2，点d为bc的中点，则异面直线ad与a1c所成的角为()abcd解析：选b解法一：取b1c1的中点为d1，连接a1d1，d1c，易证a1d1ad，所以d1a1c或其补角为异面直线ad与a，c所成的角abac，d为bc的中点，adbc，ad1，a1d1ad1.又a1c2，d1c2，a1dd1c2a1c2，d1a1c为直角三角形，且cosd1a1c，d1a1c，故选b解法二：以a为坐标原点，ab，ac，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0，0，0)，a1(0，0，)，b(，0，0)，c(0，0)，d，0，0，(0，)，cos，.故选b10如图为正方体表面的一种展开图，则图中的ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，在原正方体中，显然ab与cd，ef与gh，ab与gh都是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行故互为异面直线的有3对答案：311.如图所示，ac是圆o的直径，b，d是圆o上两点，ac2bc2cd2，pa圆o所在的平面，pa，点m在线段bp上，且bmbp.(1)求证：cm平面pad；(2)求异面直线bp与cd所成角的余弦值解：(1)证明：如图，作meab于点e，连接ce，则meap.因为ac是圆o的直径，ac2bc2cd2，所以addc，abbc，所以baccad30，bcadca60，abcadc90，所以abad.因为bmbp，所以beba，所以在rtbce中，tanbce，所以bceeca30cad，所以ecad又mecee，padaa，所以平面mec平面pad又cm平面mec，cm平面pad，所以cm平面pad(2)过点a作平行于bc的直线交cd的延长线于点g，作bfcg交ag于点f，连接pf，则pbf(或其补角)为异面直线bp与cd所成的角，设pbf.易知af1，bp，bf2，pf2，故cos ，即异面直线bp与cd所成角的余弦值为.b级素养提升|练能力|12.已知a，b，c，d是空间四点，命题甲：a，b，c，d四点不共面，命题乙：直线ac和bd不相交，则甲是乙成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选a若a，b，c，d四点不共面，则直线ac和bd不共面，所以ac和bd不相交；若直线ac和bd不相交，直线ac和bd平行，则a，b，c，d四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件13已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选a若直线a，b相交，设交点为p，则pa，pb，又a，b，所以p，p，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件14在三棱柱abca1b1c1中，e，f分别为棱aa1，cc1的中点，则在空间中与直线a1b1，ef，bc都相交的直线()a不存在b有且只有两条c有且只有三条d有无数条解析：选d如图，在ef上任意取一点m，直线a1b1与m确定一个平面，这个平面与bc有且仅有1个交点n，当m的位置不同时，确定不同的平面，从而与bc有不同的交点n，而直线mn与a1b1，ef，bc分别有交点p，m，n，故有无数条直线与直线a1b1，ef，bc都相交15.如图，已知平面四边形abcd，abbc3，cd1，ad，adc90.沿直线ac将acd翻折成acd，直线ac与bd所成角的余弦值的最大值是_解析：作beac，beac，连接de，