高考真题——数学理(全国Ⅰ卷)

学科知识供应商 绝密绝密启用前启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 A=x|x1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填 入 学科知识供应商 AA1 000 和 n=n+1 BA1 000 和 n=n+2 CA1 000 和 n=n+1 DA1 000 和 n=n+2 【考点】 ：程序框图。 【思路】 ：此题的难点在于考察点的不同，考察判断框和循环系数。根据判断条件可得为当型结构，故而 判断框中应该是 A1 000，又题目要求为最小偶数，故而循环系数当为 n=n+2。 【解析】 ：选 D。 9已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 )，则下面结论正确的是 A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 【考点】 ：三角函数的变换。 【思路】 ：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。 先变周期： 2 cossinsin 2sin 2sin 2 223122 yxxyxyxx 先变相位： 22 cossinsinsinsin 2 22633 yxxyxxyx 【解析】 ：选 D。 学科知识供应商 10已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点， 直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 【考点】 ：抛物线与直线的位置关系。 【思路】 ：由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为 0，分别假设为k和 1 k ，故而可得 1: 1lyk x， 联立 2222 2 1 240 4 yk x k xkxk yx ，假设 1122 ,A x yB xy，故而根据韦达定理可 得 2 12 22 244 2 k xx kk ，此时 12 2 4 4ABxxp k ，同理可得 2 44DEk，故而 2 2 4 848816ABDEk k ，当且仅当 22 2 4 411kkk k 时取等号。 【解析】 ：选 A。 11设 xyz 为正数，且235 xyz ，则 A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲 线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN=60 ，则 C 的离心率为_。 【考点】 ：圆锥曲线离心率问题。 【思路】 ：利用角度计算可得答案。 【 解 析 】 ： 如 图 所 示 ， 过 点 A 作 渐 近 线 的 垂 线 AB ， 由6030MANBAN ， 又 2 2 33 , 22 AMbABb OAaOBab ，故而 2 2 3 2 tan 3 2 b b BOA a ab ，解得 22 22 12 3 1 33 bb e aa 。 16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别 以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边 长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。 【考点】 ：立体几何体积计算，函数与导数综合。 【思路】 ：根据题意可得DBC，ECA，FAB 分别全等，故而可得三棱锥 是正三棱锥，斜高即为三个三角形的高，即为DG，高为OD（右图） 。 不妨设三角形ABC的边长为 05 3aa，此时在左图中， 33335 ,5,503 33332 OGa DGROGaaaa ，故而正三棱锥的高 学科知识供应商 22 10 3 25 3 ODD GOGa，此时即可计算体积。 【解析】 ：根据体积公式可得 245 1310 3310 3 2525 343123 DABC Vaaaa ，利用函数性质 可得，假设 453 10 33 25502 33 f aaafaaa ，故而当2 3a 时取最大值15cm3。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长. 【考点】 ：解三角形。 【思路】 ：根据三角形面积公式可以求得第一问，第二问直接利用余弦定理求解即可。 【解析】 ： （1）由题意可得 2 1 sin 23sin ABC a SbcA A ，化简可得 22 23sinabcA，根据正弦定理化简 可得： 22 2 2sin3sinsinCsinsinsinC 3 ABAB。 （2）由 2 sinsinC 12 3 coscossinsinC coscos 123 coscos 6 B AABBBCA BC ，因此可得 3 BC ，将之代入 2 sinsinC 3 B中可得： 2 31 sinsinsincossin0 322 CCCCC ，化简 学科知识供应商 可得 3 tan, 366 CCB ，利用正弦定理可得 31 sin3 sin23 2 a bB A ，同理可得 3c ，故而三角形的周长为32 3。 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP. （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 【考点】 ：立体几何，空间向量。 【思路】 ： （1）利用线面垂直的性质即可求得。 （2）建立空间直角坐标系即可 【解析】 ： （1）/ /,ABCD CDPDABPD,又,ABPA PAPDP,PA、PD 都在平面 PAD 内，故而可得ABPAD。又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB平面 PAD。 （2）不妨设2PAPDABCDa，以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐 标系。故而可得各点坐标： 0,0, 2,2 ,0,0 ,2 ,2 ,0 ,2 ,2 ,0PaAaBaaCaa，因此可得 2 ,0,2,2 ,2 ,2,2 ,2 ,2PAaaPBaaaPCaaa ， 假 设 平 面PAB的 法 向 量 1 , 1nx y，平面PBC的法向量 2 , ,1nm n，故而可得 1 1 2201 22200 nPAaxax nPBaxayay ， 即 1 1,0,1n ，同理可得 2 2 22200 2 2220 2 nPCamanam nPBamanan ，即 2 2 0,1 2 n 。因此法向 量的夹角余弦值： 12 13 cos, 33 2 2 n n 。很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 3 3 。 19（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量 其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 2 ( ,)N 学科知识供应商 （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件 数，求(1)P X 及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx ， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ， 其中 i x为抽取 的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除 (3 ,3 ) 之外的数据， 用剩下的数据估计和（精确到 0.01） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N ，则(33 )0.997 4PZ， 16 0.997 40.959 2 ， 0.0080.09 【考点】 ：统计与概率。 【思路】 ： （1）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。 （2）考察正态分布，代入运算即可。 【解析】 ： （1） 16 11010.997410.95920.0408P XP X 由题意可得，X 满足二项分布16,0.0016XB，因此可得16,0.0016160.00160.0256EX （2） 1由（1）可得 10.04085%P X ，属于小概率事件，故而如果出现( 3 ,3 ) 的零件，需 要进行检查。 2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606，故而在 9.334,10.606范围外 存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时： 9.97 169.22 10.02 15 x ， 15 1 1 0.09 15 i xx 。 20.（12 分） 已知椭圆 C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ）中恰有 学科知识供应商 三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点. 【考点】 ：圆锥曲线。 【思路】 ： （1）根据椭圆的对称性可以排除 P1（1,1） 。 （2）联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种， 假设直线 AB 的方程，第二种假设直线 P2A 和 P2B。 【解析】 ： （1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1， 3 2 ）不可能同时在椭圆上，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ） 一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过 P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ，P4（1， 3 2 ） ，代入椭圆方程可得： 2 13 1,12 4 ba a ，故而可得椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 x y。 （2）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在，不妨设直线 P2A 为：1ykx,P2B 为： 11yk x.联立 22 2 2 1 4180 1 4 ykx kxkx x y ，假设 11 ,A x y， 22 ,B xy此时可得： 2 2 2222 8 114 1814 , 41 41 4 11 4 11 kkkk AB kk kk ，此时可求得直线的斜率为： 2 2 22 21 21 22 14 114 41 4 11 8 18 41 4 11 AB kk k kyy k kxxk k k ，化简可得 2 1 12 AB k k ，此时满足 1 2 k 。 1当 1 2 k 时，AB 两点重合，不合题意。 2当 1 2 k 时，直线方程为： 2 222 1814 4141 12 kk yx kk k ，即 2 2 441 12 kkx y k ，当 2x 时，1y ，因此直线恒过定点2, 1。 21.（12 分） 已知函数 )f x （ ae2x+(a2) exx. 学科知识供应商 （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 【考点】 ：导数综合问题。 【思路】 ： （1）直接进行求导，分类讨论（2）函数有两个零点，故而函数不单调；根据函数单调性判断函 数图像即可。 【解析】 ： （1）对函数进行求导可得 2 22111 xxxx fxaeaeaee 。 1当0a 时， 110 xx fxaee恒成立，故而函数恒递减 2当0a 时， 1 110ln xx fxaeex a ，故而可得函数在 1 ,ln a 上单调递 减，在 1 ln, a 上单调递增。 （2）函数有两个零点，故而可得0a ，此时函数有极小值 11 lnln1fa aa ，要使得函数有两个 零点，亦即极小值小于 0，故而可得 1 ln100aa a ，令 1 gln1aa a ，对函数进行求导即 可得到 2 1 g0 a a a ，故而函数恒递增，又 g 10， 1 gln101aaa a ，因此可得 函数有两个零点的范围为0,1a。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y （ 为参数），直线 l 的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数）. （1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17，求 a. 【考点】 ：参数方程。 【思路】 ： （1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即 可。 【解析】 ： 学科知识供应商 将曲线 C 的参数