万有引力与航天

第4讲万有引力与航天,【知识梳理】知识点1万有引力定律及其应用1.内容：(1)自然界中_两个物体都相互吸引。(2)引力的方向在它们的_。(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积_、与它们之间距离r的二次方_。,任何,连线上,成正比,成反比,2.表达式：F=_,其中G为引力常量,G=6.6710-11Nm2/kg2,由卡文迪许扭秤实验测定。3.适用条件：(1)两个_之间的相互作用。(2)对质量分布均匀的球体,r为_的距离。,质点,两球心,知识点2环绕速度1.第一宇宙速度又叫_,其数值为_。2.特点：(1)第一宇宙速度是人造卫星的最小_速度。(2)第一宇宙速度是人造卫星最大的_速度。,环绕速度,7.9km/s,发射,环绕,3.第一宇宙速度的计算方法：(1)由得v=_。(2)由mg=得v=_。,知识点3第二、三宇宙速度时空观1.第二、三宇宙速度的比较：,11.2,地球,16.7,太阳,最小,2.经典时空观：(1)在经典力学中,物体的质量不随_而改变。(2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_的。,运动状态,相同,3.相对论时空观：(1)在狭义相对论中,物体的质量随物体的速度的增加而_,用公式表示为_。(2)在狭义相对论中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是_的。,增加,不同,【思维诊断】(1)只有天体之间才存在万有引力。()(2)当两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大。()(3)第一宇宙速度与地球的质量有关。()(4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。()(5)地球同步卫星可以定点于北京正上方。()(6)若物体的发射速度大于第二宇宙速度,小于第三宇宙速度,则物体可以绕太阳运行。(),提示：(1)。任何两个有质量的物体之间都存在万有引力作用。(2)。当两个物体间的距离趋近于零时,万有引力定律不适用了,所以两物体间的万有引力并不是趋近于无穷大。(3)。第一宇宙速度的表达式为v=,与地球的质量有关。,(4)。第一宇宙速度是最大的环绕速度,地球同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度。(5)。地球同步卫星只能定点于赤道正上方固定高度处。(6)。当物体的发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度时,物体可以挣脱地球引力束缚,但不能挣脱太阳引力的束缚,故物体可绕太阳运行。,【小题快练】1.关于万有引力公式F=以下说法中正确的是()A.公式只适用于星球之间的引力计算,不适用于质量较小的物体B.当两物体间的距离趋近于0时,万有引力趋近于无穷大C.两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D.公式中引力常量G的值是牛顿规定的,【解析】选C。万有引力公式适用于任意两质点之间万有引力的计算,与物体质量大小无关,故A错;当物体间的距离趋近于零时,万有引力公式不再适用,故B错;物体间的相互作用力是一对作用力和反作用力,一定遵守牛顿第三定律,C正确;公式中引力常量G的值是由卡文迪许测定的,D错误。,2.(多选)关于人造地球卫星的说法正确的是()A.卫星运行的轨道半径变大,其周期变小B.同步卫星只能在距离地面一定高度的赤道上空运行C.人造卫星在轨道上运行时处于完全失重状态D.所有人造地球卫星的运行速度都大于第一宇宙速度,【解析】选B、C。卫星绕地球运行时,有得T=2。当r变大时,周期T增大,A错误;同步卫星与地球自转同步,只能位于赤道正上方的固定高度,B正确;人造卫星在轨道上运行时,由于F万=F向,因此卫星处于完全失重状态,C正确;所有人造地球卫星的运行速度都小于第一宇宙速度,D错误。,3.如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星,关于各物理量的关系,下列说法正确的是()A.线速度vAFBFCC.角速度ABCD.向心加速度aABC,aAaBaC,故A、D错误,C正确。,4.某行星与地球的质量比为a,半径比为b,则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为()【解析】选B。星球表面上万有引力与重力相等,则地球表面上mg=G,某行星表面上mg=G,由两式得故B正确。,5.(多选)我国已先后成功发射了飞行器“天宫一号”和飞船“神舟八号”,并成功地进行了对接试验,若“天宫一号”能在离地面约300km高的圆轨道上正常运行,下列说法中正确的是()A.“天宫一号”的发射速度应大于第二宇宙速度B.对接前,“神舟八号”欲追上“天宫一号”,必须在同一轨道上点火加速,C.对接时,“神舟八号”与“天宫一号”的加速度大小相等D.对接后,“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度,【解析】选C、D。地球卫星的发射速度都大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,所以选项A错误;若“神舟八号”在与“天宫一号”同一轨道上点火加速,那么“神舟八号”受到的万有引力小于向心力,其将做离心运动,不可能实现对接,选项B错误;对接时,“神舟八号”与“天宫一号”必须在同一轨道上,根据a=G可知,它们的加速度大小相等,选项C正确;第一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度,所以对接后,“天宫一号”的速度仍然要小于第一宇宙速度,选项D正确。,考点1中心天体质量和密度的估算1.“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。(1)由=mg得天体质量(2)天体密度,2.“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。(1)由得天体的质量M=(2)若已知天体的半径R,则天体的密度=(3)若卫星绕天体表面运行时,可认为轨道半径r等于天体半径R,则天体密度=可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。,【典例1】(2014新课标全国卷)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0;在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为(),【解题探究】(1)请确定物体在地球两极处时重力和万有引力的关系。提示：物体在地球的两极上,有=mg。(2)试写出地球赤道上物体随地球自转做圆周运动所需向心力的表达式。提示：对赤道上的物体：,【解析】选B。由万有引力定律可知：=mg0,在地球的赤道上：地球的质量M=R3,联立三式可得：=选项B正确。,【易错提醒】本题易根据得出=错选C项。,【总结提升】估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质量,并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有rR;计算天体密度时,V=R3中的R只能是中心天体的半径。,【变式训练】“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转,卫星能探测到整个月球的表面。卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H,绕行的周期为TM;月球绕地球公转的周期为TE,半径为R0。地球半径为RE,月球半径为RM。若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为(),【解析】选C。卫星绕月球以及月球绕地球做圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的,由牛顿第二定律及万有引力定律得,对卫星对月球解以上两式得选项C正确。,【加固训练】如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行,环绕n周飞行时间为t,已知万有引力常量为G,则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是(),【解析】选D。设“卡西尼”号的质量为m,“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,其中T=解得M=又土星体积V=R3,所以=选项D正确。,考点2卫星的运行规律1.卫星的轨道：(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内,同步卫星就是其中的一种。(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极,即在垂直于赤道的平面内,如极地气象卫星。(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道,且轨道平面一定通过地球的球心。,2.卫星的运行规律及黄金代换：(1)万有引力提供向心力。,(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力,即=mg或gR2=GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度),公式gR2=GM应用广泛,称“黄金代换”。3.地球同步卫星的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同,即T=24h=86400s。,(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据=4.23104km,卫星离地面高度h=r-R6R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。,【典例2】(2014天津高考)研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A.距地面的高度变大B.向心加速度变大C.线速度变大D.角速度变大,【解题探究】(1)同步卫星向心力的来源为_。(2)设同步卫星离地面高度为h,请写出同步卫星向心加速度、线速度、角速度和离地高度的表达式。提示：根据=m(R+h)2=m(R+h)()2,可得,万有引力,【解析】选A。地球对卫星的万有引力提供向心力,由得：T=由于周期T变大,所以卫星距地面的高度变大,A正确;由卫星运行的规律可知,向心加速度变小,线速度变小,角速度变小,B、C、D错。,【总结提升】人造卫星问题的解题技巧(1)卫星向心加速度的不同表述形式。=man。,(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想,解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。卫星的an、v、T是相互联系的,其中一个量发生变化,其他各量也随之发生变化。an、v、T均与卫星的质量无关,只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。,【变式训练】(2014福建高考)若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的p倍,半径为地球的q倍,则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的()【解析】选C。据可得环绕速度v=利用比值法可知C正确。,【加固训练】(2014抚顺模拟)据报道,我国自主研制的“嫦娥二号”卫星在奔月的旅途中,先后完成了一系列高难度的技术动作,在其环月飞行的高度距离月球表面100km时开始全面工作。国际上还没有分辨率优于10m的全月球立体图像,而“嫦娥二号”立体相机具有的这种高精度拍摄能力,有助于人们对月球表面了解得更清楚,所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度约为200km的“嫦娥一,号”更加翔实。若两颗卫星环月运行均可视为匀速圆周运动,运行轨道如图所示,则下列说法不正确的是()A.“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更长B.“嫦娥二号”环月运行的速度比“嫦娥一号”更大C.“嫦娥二号”环月运行时向心加速度比“嫦娥一号”更大D.“嫦娥二号”环月运行时角速度比“嫦娥一号”更大,【解析】选A。设“嫦娥二号”和“嫦娥一号”的运动半径分别为r1和r2,万有引力提供向心力,由可得周期之比选项A错误;线速度之比选项B正确;向心加速度之比C项正确;角速度之比选项D正确。故选A。,考点3航天器的变轨道问题1.卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度逐渐改变时,万有引力不再等于向心力,卫星将做变轨运行。(1)当卫星的速度逐渐增加时,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,轨道半径变大,当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小。,(2)当卫星的速度逐渐减小时,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运动,轨道半径变小,当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大。,2.卫星轨道的突变：由于技术上的需要,有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机,使飞行器轨道发生突变,使其进入预定的轨道。如图所示,发射同步卫星时,可以分多过程完成：,(1)先将卫星发送到近地轨道。(2)使其绕地球做匀速圆周运动,速率为v1,变轨时在P点点火加速,短时间内将速率由v1增加到v2,使卫星进入椭圆形的转移轨道。(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3,此时进行第二次点火加速,在短时间内将速率由v3增加到v4,使卫星进入同步轨道,绕地球做匀速圆周运动。,【典例3】(多选)(2013新课标全国卷)2012年6月18日,“神舟九号”飞船与“天宫一号”目标飞行器在离地面343km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是()A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B.如不加干预,在运行一段时间后,“天宫一号”的动能可能会增加,C.如不加干预,“天宫一号”的轨道高度将缓慢降低D.航天员在“天宫一号”中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用,【解题探究】(1)请分析飞船和“天宫一号”的运行速度与第一宇宙速度的关系。提示：飞船和“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度。(2)对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气意味着什么?提示：对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气,说明空气阻力对飞船和“天宫一号”做负功。,(3)如不加干预,“天宫一号”将做什么运动?速度将如何变化?提示：如不加干预,空气阻力对“天宫一号”做负功,其速率将减小,而做向心运动,引力又会做正功,速率又将增大。,【解析】选B、C。绕地球运行的飞船和“天宫一号”的速度小于第一宇宙速度,选项A错;如不加干预,在运行一段时间后,空气阻力对“天宫一号”做负功速率减小而做向心运动,高度将缓慢降低,万有引力又会对“天宫一号”做正功而使其动能可能会增加,故选项B、C对;航天员在“天宫一号”中处于失重状态是因为其重力提供向心力,并不是不受地球引力作用,所以选项D错。,【变式训练】(多选)飞船在轨道上运行时,由于受大气阻力的影响,飞船飞行轨道高度逐渐降低,为确保正常运行,一般情况下在飞船飞行到第30圈时,控制中心启动飞船轨道维持程序。则可采取的具体措施是()A.启动火箭发动机向前喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行速度增大B.启动火箭发动机向后喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行速度减小,C.启动火箭发动机向前喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行周期增大D.启动火箭发动机向后喷气,进入高轨道后与前一轨道相比,运行周期增大,【解析】选B、D。由于阻力作用飞船的机械能减小,轨道降低,为恢复到原来的轨道必须使其动能增大,速度增大,飞船做离心运动进入较高轨道,继续做匀速圆周运动,由可得,半径越大,速度越小,周期越大,选项B、D正确。,【加固训练】(多选)(2013新课标全国卷)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是()A.卫星的动能逐渐减小B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小,【解析】选B、D。当卫星在轨道半径变小的过程中,环绕速度增加(v=),动能增大,选项A错误;地球的引力对卫星做正功,引力势能一定减小,选项B正确;气体阻力对卫星做负功,机械能减小,选项C错误;卫星克服阻力做的功与其动能的增加量之和等于引力势能的减小量,选项D正确。,【总结提升】航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大小关系判断;稳定在新轨道上的运行速度变化由v=判断。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等,外轨道的速度大于内轨道的速度。,【资源平台】备选角度：卫星发射时的做功问题【典例】(2014山东高考)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图,将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上,与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接,然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m,月球半径为R,月面的重力加速度为g月。以月面为零势能面,“玉兔”在h高度的,引力势能可表示为Ep=其中G为引力常量,M为月球质量。若忽略月球的自转,从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(),【规范解答】选D。根据功能关系可知对“玉兔”做的功等于“玉兔”机械能增量,即W=mv2+Ep,其中Ep=在离地h高处,“玉兔”做匀速圆周运动,必有并且在月球表面附近,有：=mg月,由以上几式联立得选项D正确。,建模提能之4双星模型1.双星模型的特点：(1)“向心力等大反向”两颗行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供,故F1=F2,且方向相反,分别作用在两颗行星上,是一对作用力和反作用力。,(2)“周期、角速度相同”两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)“半径反比”圆心在两颗行星的连线上,且r1+r2=L,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比。,2.解答双星问题应注意“两等”“两不等”：(1)双星问题的“两等”。它们的角速度相等。双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万