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1,玻恩-卡曼有限链模型,我们在讨论一维原子链的时候，没有考虑边界条件，边界条件将使问题变复杂,玻恩-卡曼提出了一个包含N个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限数目的原子，而保持所有原胞完全等价,如果N很大，沿环的运动仍可看作是直线的，以前的运动方程仍使用,2,在玻恩-卡曼环状链模型下，要求原胞n增加N，振动情况必须复原，因为n和n+N对应的是同一个原胞；这就必须要求,因此,即,我们知道,所以,共N个值,3,所以，由N个原胞组成的链，K可以取N个不同的值，每个K对应着一个格波，共有N个格波，这正是一维单原子链的自由度数，这样就已经得到链的全部振动模,玻恩-卡曼模型要求链头尾相接，实际上起着边界条件的作用，此模型不改变方程的解，而是对解提出一个条件，称为玻恩-卡曼条件，或者周期性边界条件,4,简正坐标,我们曾得到一维原子链的解,表示波矢为K的格波引起第n个原子的位移，则原子的总位移为所有格波的叠加,把上式写成,5,相当于我们把“坐标轴”取为,其中,则QK就是un在此坐标轴上的坐标，称为简正坐标，它表示了格波的振幅,6,2.基函数是正交归一的，即,QK的两个性质,1.,证明：,因为,所以,7,因为,当时，上式显然是成立的；当时,所以,8,晶格振动能量,其中动能项,9,势能项,10,势能项,11,显然，这是一些列独立线性谐振子的哈密顿量的总和；即通过简正坐标我们把相互耦合的原子振动化成了无相互作用的简谐振动,因此，我们一旦找出了简正坐标，就可以直接过渡到量子理论，每一简正坐标对应于一个谐振子方程,12,声子,晶格振动的能量是量子化的，与电磁波的光子相仿，这种能量量子被称为声子(phonon),一角频率为w的弹性模式被激发到量子数为n时，也就是当这个模式被n个声子所占据时，其能量为,13,这个模式的零点能为。声子和光子一样具有零点能，因为它们都等价于一个频率为w的量子谐振子，该量子谐振子的能量本征值也是,14,当电子(或光子)与晶格振动相互作用，交换能量以为单元，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格能量，称为发射声子,声子不是真实粒子，称为准粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。多体系统集体运动的激发单元，常称为元激发。声子是固体中一种典型的元激发,15,声子的均方振幅,设驻波模式的振幅为,类似于谐振子，当这种模式的能量对时间求平均值时，一半为动能，另一半为势能。动能密度为。体积为
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