22.2二次函数与一元二次方程的关系课件.ppt

二次函数与一元二次方程的关系,引入:右图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）1、求抛物线的解析式2、求两盏景观灯之间的水平距离,(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,二次函数与一元二次方程,二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.,y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac0,b2-4ac=0,b2-4ac0,O,X,Y,结论2：,抛物线y=ax2+bx+c,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：,1、b2-4ac0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根,与x轴有两个交点相交。,抛物线y=ax2+bx+c,2、b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,与x轴有唯一公共点相切（顶点）。,抛物线y=ax2+bx+c,3、b2-4ac0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,与x轴没有公共点相离。,探究3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则由根与系数的关系得：x1+x2=-x1x2=,若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则是否有同样的结论呢？,结论3、若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=,二、基础训练,1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a=；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是；,3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p=，q=。,2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。,评:若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），利用根与系数的关系，求证：A、B两点间的距离AB=,4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+4,5.已知抛物线,求抛物线与y轴的交点坐标;求抛物线与x轴的两个交点间的距离.,6、抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象全部在x轴下方的条件是（）（A）a0b2-4ac0（B）a0b2-4ac0（C）a0b2-4ac0(D）a0b2-4ac0,D,7已知二次函数-ax2，下列说法不正确的是（）当,时,总取负值当,时,随的增大而减小当时，函数图象有最低点，即有最小值当，-ax2的对称轴是轴,D,三、例题,1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数与x轴有两个不同的交点。(2)k为何值时,二次函数y=x2-kx-2+k与x轴两个交点A、B之间的距离最小？(3)如果二次函数y=x2-kx-2+k与x轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求SABC.,2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。,提示：（1）44（m1）0注：本题也可问当此抛物线顶点在x轴上时，求m的值。（2）即方程x2+2x+m+1=x+2m的根只有一个。,3、已知x1、x2为方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实数根，A、B为抛物线y=x2-（k-3）x+k+4与x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设PAB=，PBA=，问、能否相等？并说明理由.,4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求证:m为任何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,5、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴，B在x轴的负半轴，（1）若OA=3OB，求m的值。（2）若3（OA-OB）=2OAOB，求m的值。,右图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）1、求抛物线的解析式2、求两盏景观灯之间的水平距离,A,B,C,D,4,四、小结,1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0）2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。