2021高考数学一轮复习 课时作业51 直线与圆锥曲线 文

课时作业51直线与圆锥曲线 基础达标1过椭圆1内一点p(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程解析：设直线与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由于a、b两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又p是a、b的中点，x1x26，y1y22，kab.直线ab的方程为y1(x3)即3x4y130.22020郑州测试已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆c的方程；(2)如图，斜率为的直线l与椭圆c交于a，b两点，点p(2,1)在直线l的左上方若apb90，且直线pa，pb分别与y轴交于点m，n，求线段mn的长度解析：(1)由题意知解得所以椭圆c的方程为1.(2)设直线l：yxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立，得消去y，化简整理，得x22mx2m240.则由(2m)24(2m24)0，得2m2.由根与系数的关系得，x1x22m，x1x22m24，因为kpa，kpb，所以kpakpb，上式中，分子(x22)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0.所以kpakpb0.因为apb90，所以kpakpb1，则kpa1，kpb1.所以pmn是等腰直角三角形，所以|mn|2xp4.3设f1，f2分别是椭圆e：x21(0b1)的左、右焦点，过f1的直线l与e相交于a，b两点，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差数列(1)求|ab|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解析：(1)由椭圆定义知|af2|ab|bf2|4，又2|ab|af2|bf2|，得|ab|.(2)设直线l的方程为yxc，其中c.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2，因为直线ab的斜率为1，所以|ab|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，因为0bb0)，右焦点为f2(c,0)因为ab1b2是直角三角形，且|ab1|ab2|，所以b1ab290，因此|oa|ob2|，得b.由c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e.在rtab1b2中，oab1b2，故sab1b2|b1b2|oa|ob2|oa|bb2.由题设条件sab1b24得b24，所以a25b220.因此所求椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知b1(2,0)，b2(2,0)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由pb2qb2，得0，即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.52020唐山五校联考在直角坐标系xoy中，长为1的线段的两端点c，d分别在x轴、y轴上滑动， .记点p的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线e相交于a，b两点，当点m在曲线e上时，求四边形aobm的面积解析：(1)设c(m,0)，d(0，n)，p(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线e的方程为x21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由，知点m坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线ab的斜率存在设直线ab的方程为ykx1，代入曲线e的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点m在曲线e上，知(x1x2)21，即1，解得k22.这时|ab|x1x2|，原点到直线ab的距离d，所以平行四边形oamb的面积s|ab|d.62018天津卷设椭圆1(ab0)的左焦点为f，上顶点为b.已知椭圆的离心率为，点a的坐标为(b,0)，且|fb|ab|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为p，且l与直线ab交于点q.若sinaoq(o为原点)，求k的值解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得|fb|a，|ab|b，由|fb|ab|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点p的坐标为(x1，y1)，点q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|pq|sinaoqy1y2.又因为|aq|，而oab，所以|aq|y2.由sinaoq，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线ab的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值为或.能力挑战72020贵州贵阳测试已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，点m为短轴的上端点，0，过f2且垂直于x轴的直线交椭圆c于a，b两点，|ab|.(1)求椭圆c的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点m的直线l与椭圆c相交于g，h两点，若k1，k2分别是直线mg，mh的斜率，求k1k2的值解析：(1)由0，得bc，将xc代入1中，得y，因为|ab|，所以，又a2b2c2，所以a，b1，故椭圆c的方程为y21.(2)根据题意设直线l的方程为y1k(x2)(k1)，即ykx2k