2021高考数学一轮复习 课时作业55 证明、最值、范围、存在性问题 理

课时作业55证明、最值、范围、存在性问题 基础达标12019全国卷已知曲线c：y，d为直线y上的动点，过d作c的两条切线，切点分别为a，b.(1)证明：直线ab过定点；(2)若以e(0，)为圆心的圆与直线ab相切，且切点为线段ab的中点，求四边形adbe的面积解析：(1)设d，a(x1，y1)，则x2y1.由yx，所以切线da的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设b(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线ab的方程为2tx2y10.所以直线ab过定点.(2)由(1)得直线ab的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21.|ab|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点d，e到直线ab的距离，由d1，d2.因此，四边形adbe的面积s|ab|(d1d2)(t23).设m为线段ab的中点，则m.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，s3；当t1时，s4.因此，四边形adbe的面积为3或4.22020江西五校协作体联考在平面直角坐标系xoy中，过椭圆m：1(ab0)右焦点的直线xy0交m于a，b两点，且椭圆m的离心率为.(1)求椭圆m的方程；(2)c，d为m上的两点，如四边形abcd的对角线cdab，求四边形acbd面积的最大值解析：(1)易知椭圆m的右焦点为(，0)，则c.离心率e，则a，故b2a2c23.所以椭圆m的方程为1.(2)由解得或因此|ab|.由题意可设直线cd的方程为yxn，c(x1，y1)，d(x2，y2)由得3x24nx2n260，所以x1x2，x1x2.又直线cd的斜率为1，所以|cd|x2x1|.由已知得，四边形acbd的面积s|cd|ab|.当n0时，s取得最大值，最大值为.所以四边形acbd面积的最大值为.32020河北衡水测试如图，在平面直角坐标系xoy中，点f，直线l：x，点p在直线l上移动，r是线段pf与y轴的交点，rqfp，pql.(1)求动点q的轨迹c的方程；(2)设圆m过a(1,0)，且圆心m在曲线c上，ts是圆m在y轴上截得的弦，当m运动时，|ts|是否为定值？请说明理由解析：(1)依题意知，r是线段fp的中点，且rqfp，rq是线段fp的垂直平分线连接qf，点q在线段fp的垂直平分线上，|pq|qf|.又pql，|pq|是点q到直线l的距离，故动点q的轨迹c是以f为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x.(2)|ts|为定值理由如下：取曲线c上点m(x0，y0)，点m到y轴的距离d|x0|x0，圆的半径r|ma|，则|ts|22，点m在曲线c上，x0，|ts|22，是定值42020湖南衡阳八中模拟已知过点p(0，2)的圆m的圆心在x轴的非负半轴上，且圆m截直线xy20所得弦长为2.(1)求圆m的标准方程；(2)若过点q(0,1)的直线l交圆m于a，b两点，求当pab的面积最大时直线l的方程解析：(1)设圆m的方程为(xa)2y2r2(a0)，则圆心m到直线xy20的距离等于.由题意得得所以圆m的方程为x2y24.(2)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则圆心m到直线l的距离等于，所以|ab|2.又点p(0，2)到直线l的距离d，所以spab|ab|d33.因为k20，所以当k0时，pab的面积取得最大值，且(spab)max3.此时直线l的方程为y10.52019安徽合肥二检已知抛物线c1：x22py(p0)和圆c2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过c1的焦点，且l1与c2相切(1)求p的值；(2)动点m在c1的准线上，动点a在c1上，若c1在a点处的切线l2交y轴于点b，设，求证：点n在定直线上，并求该定直线的方程解析：(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆c2相切，所以圆心c2(1,0)到直线l1：yx的距离d，即，解得p6或p2(舍去)所以p6.(2)解法一依题意设m(m，3)，由(1)知抛物线c1的方程为x212y，所以y，所以y，设a(x1，y1)，则以a为切点的切线l2的斜率为k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即b点的坐标为(0，y1)所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m,6)，所以(x1m,3)，其中o为坐标原点设n点坐标为(x，y)，则y3，所以点n在定直线y3上解法二设m(m，3)，由(1)知抛物线c1的方程为x212y，设直线l2的斜率为k，a，则以a为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x.联立得，消去y，得x212kx12kx1x0.因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得b点坐标为，所以，所以(x12m,6)，所以(x1m,3)，其中o为坐标原点，设n点坐标为(x，y)，则y3，所以点n在定直线y3上62020湖南湘东六校联考已知椭圆c：1(ab0)的离心率e，点a(b,0)，b，f分别为椭圆c的上顶点和左焦点，且|bf|ba|2.(1)求椭圆c的方程(2)若过定点m(0,2)的直线l与椭圆c交于g，h两点(g在m，h之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点p(m,0)，使得以pg，ph为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解析：(1)由离心率e得a2c由|bf|ba|2，得a2，ab2.又a2b2c2，由可得a24，b23，椭圆c的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，由得(34k2)x216kx40，易得0，k.设g(x1，y1)，h(x2，y2)，则x1x2，(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)菱形的对角线互相垂直，()0，(1k2)(x1x2)4k2m0，得m，即m，k，m0(当且仅当4k时，等号成立)存在满足条件的实数m，m的取值范围为.能力挑战72019全国卷已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连接qe并延长交c于点g.()证明：pqg是直角三角形；()求pqg面积的最大值解析：(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)()设直线pq的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.记u，则p(u，uk)，q(u，uk)，e(u,0)于是直线qg的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设g(xg，yg)，则u和xg是方程