2021高考数学一轮复习 课时作业41 空间点、直线、平面之间的位置关系 理

课时作业41空间点、直线、平面之间的位置关系 基础达标一、选择题12020江西七校联考已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()a相交或平行 b相交或异面c平行或异面 d相交、平行或异面解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面答案：d2若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()ab bbcb或b db与相交或b或b解析：b与相交或b或b都可以答案：d3.如图所示，abcda1b1c1d1是正方体，o是b1d1的中点，直线a1c交平面ab1d1于点m，则下列结论正确的是()aa，m，o三点共线ba，m，o，a1不共面ca，m，c，o不共面db，b1，o，m共面解析：连接a1c1，ac(图略)，则a1c1ac，a1，c1，a，c四点共面，a1c平面acc1a1.ma1c，m平面acc1a1.又m平面ab1d1，m在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，同理a，o在平面acc1a1与平面ab1d1的交线上，a，m，o三点共线答案：a42020河北张家口模拟三棱柱abca1b1c1中，abc为等边三角形，aa1平面abc，aa1ab，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，则bm与an所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：取bc的中点o，连接no，ao，mn，因为b1c1綊bc，obbc，所以obb1c1，obb1c1，因为m，n分别为a1b1，a1c1的中点，所以mnb1c1，mnb1c1，所以mn綊ob，所以四边形mnob是平行四边形，所以nomb，所以ano或其补角即为bm与an所成角，不妨设ab2，则有ao，onbm，an，在ano中，由余弦定理可得cosano.故选c.答案：c52020陕西省高三质检已知p是abc所在平面外的一点，m，n分别是ab，pc的中点若mnbc4，pa4，则异面直线pa与mn所成角的大小是()a30 b45c60 d90解析：本题考查异面直线所成角，取ac中点为o，连接om，on，则易证om綊bc，on綊pa，所以onm就是异面直线pa与mn所成的角由mnbc4，pa4，得ombc2，onap2，则cosonm，所以onm30，即异面直线pa与mn所成角的大小是30，故选a.答案：a二、填空题6设p表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_pa，pa；abp，ba；ab，a，pb，pb；b，p，ppb.解析：当ap时，pa，p，但a，错；ap时，错；如图ab，pb，pa，由直线a与点p确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点p，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案：7如图所示，g，h，m，n分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh，mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图(1)中，直线ghmn；图(2)中，g，h，n三点共面，但m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图(3)中，连接mg，hn，gmhn，因此gh与mn共面；图(4)中，g，m，n共面，但h平面gmn，因此gh与mn异面所以图(2)，(4)中gh与mn异面答案：(2)(4)8如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，ad的中点，则异面直线b1c与ef所成的角的大小为_解析：如图，连接b1d1，d1c，则b1d1ef，故d1b1c(或其补角)即为所求，又b1d1b1cd1c，所以d1b1c60.答案：60三、解答题9.如图，在四边形abcd中，已知abcd，直线ab，bc，ad，dc分别与平面相交于点e，g，h，f，求证：e，f，g，h四点必定共线证明：因为abcd，所以ab，cd确定一个平面.又因为abe，ab，所以e，e，即e为平面与的一个公共点同理可证f，g，h均为平面与的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以e，f，g，h四点必定共线102020福建四地六校联考已知三棱锥abcd中，abcd，且直线ab与cd成60角，点m、n分别是bc、ad的中点，求异面直线ab与mn所成角的大小解析：如图，取ac的中点p，连接pm，pn，则pmab，且pmab，pncd，且pncd.mpn或其补角为ab与cd所成的角，则mpn60或mpn120，pmab，pmn或其补角是ab与mn所成的角，abcd，pmpn，若pmn60，则pmn是等边三角形，pmn60，ab与mn所成的角为60.若mpn120，则pmn30，ab与mn所成的角为30，综上，异面直线ab与mn所成的角为30或60.答案：30或60能力挑战112020四川成都一诊在各棱长均相等的直三棱柱abca1b1c1中，已知m是棱bb1的中点，n是棱ac的中点，则异面直线a1m与bn所成角的正切值为()a. b1c. d.解析：通解取aa1的中点p，连接pn，pb，则由直三棱柱的性质可知a1mpb，则pbn为异面直线a1m与bn所成的角(或其补角)设三棱柱的棱长为2，则pn，pb，bn，所以pn2bn2pb2，所以pnb90，在rtpbn中，tanpbn，故选c.优解以n为坐标原点，nb，nc所在的直线分别为x轴，y轴，过点n且与平面abc垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设ab2，则n(0,0,0)，a1(0，1,2)，b(，0,0)，m(，0,1)，所以(，0,0)，(，1，1)设直线a1m与bn所成的角为，则cos |cos，|，则sin ，tan ，故选c.答案：c122020安徽联合检测若在三棱柱abca1b1c1中，a1acbac60，平面a1acc1平面abc，aa1acab，则异面直线ac1与a1b所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：解法一如图，在平面abc，平面a1b1c1中分别取点d，d1，连接bd，cd，b1d1，c1d1，使得四边形abdc，a1b1d1c1为平行四边形，连接dd1，bd1，则abc1d1且abc1d1，所以ac1bd1，故a1bd1即异面直线ac1与a1b所成的角连接a1d1，过点a1作a1mac于点m，连接bm，设aa12，由a1ambac60，得am1，bm，a1m，因为平面a1acc1平面abc，a1m平面a1acc1，所以a1m平面abc，所以a1mbm，所以a1b，在菱形a1acc1中，易求得ac12bd1，在菱形a1b1d1c1中，易求得a1d12，所以cosa1bd1，所以异面直线ac1与a1b所成角的余弦值为.解法二令m为ac的中点，连接mb，ma1，易得ma，mb，ma1两两垂直以m为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设aa1acab2，则a(1,0,0)，b(0，0)，a1(0,0，)，c1(2,0，)，所以(3,0，)，(0，)，所以cos，故异面直线ac1与a1b所成角的余弦值为.答案：b132020广东广州质检如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，g，h，