上海市闵行七校2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

上海市闵行七校2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.已知角的终边经过点，且，则的值为_【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角的终边经过点，故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】定义域满足，计算得答案.【详解】函数定义域满足 解得且 故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数存在反函数，且反函数过点，则的解析式是_【答案】【解析】【分析】根据反函数性质得到函数过点，代入幂函数得到答案.【详解】反函数过点，则函数过点 设幂函数代入点得到，解析式为故答案为：【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为 _【答案】【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】展开式的二项式系数之和为 ，当时，故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知，则_【答案】【解析】试题分析：因为，所以，=。考点：本题主要考查三角函数诱导公式。点评：简单题，注意观察角之间的关系，灵活选用公式。6.已知的内角、的对边分别为、，且的面积为，则_【答案】【解析】【分析】利用余弦定理得到，代入面积公式化简得到，得到答案.【详解】根据余弦定理得到故答案为：【点睛】本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生对于面积公式，余弦定理的灵活运用.7.若，已知，则_【答案】【解析】分析】构造函数，判断为奇函数，代入数据利用奇函数性质得到答案.【详解】，设 ，则，为奇函数故答案为：【点睛】本题考查了函数值的计算，构造，利用函数的奇偶性性质是解题的关键.8.设、是非空集合，定义：且，已知，则_【答案】【解析】【分析】先计算集合a，再根据定义得到答案.【详解】或，且或故答案为：【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和解决问题的能力.9.已知函数，若任意，都成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】化简不等式得到恒成立，再计算得到答案.【详解】函数，即 恒成立， 解得 故答案为：【点睛】本题考查了恒成立问题，转化为二次函数与轴的交点问题是解题的关键.10.若将5名学生分配到4个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法_种【答案】240【解析】【分析】利用捆绑法计算得到答案.【详解】将5名学生分配到4个不同的社团，且每个社团至少有一名学生，则共有分配方法共有： 故答案为：【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，熟练掌握排列组合中的常规方法是解题的关键.11.设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 _【答案】【解析】【分析】先判断函数为周期是4的周期函数，再根据偶函数画出函数在上的图像，根据图像得到，计算得到答案.【详解】对于任意的,都有，函数是一个周期函数，且当时，且函数是定义在r上的偶函数故函数在区间上的图象如下图所示: 若在区间内关于的方程恰有个不同的实数解，即与恰有个不同的交点，由图像可得：，解得:故答案为：【点睛】本题考查了函数的零点问题，转化是函数的交点是解题的关键，综合考查了函数的奇偶性，周期性，函数图像，意在考查学生的综合应用能力.12.如果函数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到不等式 或，计算得到答案.【详解】如图所示：画出函数的图像.函数在定义域的某个子区间上不存在反函数则满足： 或 解得： 故答案为：【点睛】本题考查了反函数的相关问题，画出图像是是解题的关键，直观简洁.二. 选择题13.“成立”是“成立”（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】x(x5)00x5，|x1|43x5，“x(x5)0成立”“|x1|4成立”，反之，则不一定成立，“x(x5)0成立”是“|x1|0,a1)在r上是奇函数，f(0)=0，k=2，经检验k=2满足题意，又函数为减函数，所以，所以g(x)=loga(x+2)定义域为x2，且单调递减，故选：a.【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先观察原图形面积増长的速度，然后根据増长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可.【详解】根据图象可知在上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小，可排除；在上面积增长速度恒定，在上面积增长速度恒定，而在上面积增长速度大于在上面积增长速度，可排除,故选.【点睛】本题主要考査了函数的图象意义与实际应用，同时考査了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题.三. 解答题17.若集合且.（1）若，求集合；（2）若（），求集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的定义域和单调性满足，计算得到答案.（2）先计算，再根据题意解不等式计算得到答案.【详解】（1）则满足： 解得：或 ，即或集合为（2），满足解得：集合为【点睛】本题考查了集合的化简与对数不等式，考查了组合数与排列数的运算公式，其中解对数不等式时忽略掉定义域是容易发生的错误.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期及最值；（2）令，其中，若为偶函数，求的最小值.【答案】（1），最小值为，最大值为2（2）【解析】【分析】（1）化简得到计算得到答案.（2）先得到，函数为偶函数得到，计算得到答案.【详解】（1）最小正周期为，最小值为2，最大值为2（2）为偶函数则，当时，有最小值为【点睛】本题考查了三角函数周期，最值，奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质和三角恒等变换的灵活运用.19.围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建围墙的总费用为（单位：元），试确定的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【答案】当时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小为10440元.【解析】【分析】先求出函数表达式为，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图，设矩形的另一边长为，则，由已知，得所以.，所以，当且仅当时，等号成立，即时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.【点睛】本题主要考查函数和不等式，用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题.20.已知函数（）.（1）求证：函数增函数；（2）若函数在上的值域是（），求实数的取值范围；（3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）设，然后利用单调性的定义证明.（2）由（1）得，函数是增函数，利用转化为方程运用韦达定理即可.（3）把不等式变形为，然后定义新函数并运用二次函数的性质即可得到答案.【详解】（1）设，则由于，故，因此，即故该函数为增函数.（2）由（1）得，函数是增函数，则，即，所以 可视为方程两个不同的正实数根，解得，即实数的取值范围是.（3）不等式，即因为，上述不等式化为，令，则其图象对称轴为，讨论两种情况： ，解得； 即解得：.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查函数的单调性证明和应用，存在性问题，意在考查学生的综合应用能力.21.已知为定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、（），称为的特征根.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知为给定实数，求的表达式；（3）把函数，的最大值记作，最小值记作，研究函数，的单调性，令，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）非奇非偶函数；理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，判断为奇函数；当时，取和，非奇非偶函数，得到答案.（2）根据韦达定理得到，代入