5 2 微积分基本公式

目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 一、引例一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: )()(tvts 物体在时间间隔 内经过的路程为 )()(d)( 12 2 1 TsTsttv T T 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 目录 上页 下页 返回 结束 )(x x hx 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 x a ttfxd)()( 证证: , ,bahxx则有 h xhx)()( h 1 x a hx a ttfttfd)(d)( hx x ttf h d)( 1 )(f)(hxx h xhx h )()( lim 0 )(lim 0 f h )(xf)(x 定理定理1. 若 )(xfy xba y O 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: )( d)( d d x a ttf x )()(xxf 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . )( )( d)( d d x x ttf x )()()()(xxfxxf )( )( d)(d)( d d x a a x ttfttf x 目录 上页 下页 返回 结束 5 例例1 1 ).(,d 1 )( 0 2 xft tt t xf x 求求设设 解解 )(xf 例例2 2 ).(,d 1 1 )( 2 sin 2 xft t xf x 求求设设 解解 xusin )(xf )(xf u t t 2 2 d 1 1 t t x d 1 1 sin 2 2 x u d d x x 2 sin1 cos x u cos 1 1 2 u t tu 2 2 d 1 1 d d 1 2 xx x 目录 上页 下页 返回 结束 6 例例3 3 ).(,d)( 2 3 xftexf x x t 求求设设 解解 tetexf x t x t dd)( 3 2 2 0 d x t te te x xf x td d d )( 2 0 2 x e te x td 3 0 x2 3 x e 2 3x 0 0 te x x td d d 3 0 目录 上页 下页 返回 结束 )sin(e 2 cos x x 例例4. 求 解解: 原式 0 lim x 0 0 x2e2 1 说明 例例5. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解解: . 0b 原式 = c 0 , 故 . 1a又由 , 得 . 2 1 c 洛洛 洛洛 目录 上页 下页 返回 结束 ttf txf x d)()( 0 例例6. 证明 在 内为单调递增函数 . 证证: 2 0 d)(ttf x ttfxfx x d)()( 0 2 0 d)(ttf x ttfxf x d)()( 0 )(tx 0 只要证 0)( x F 2 0 d)(ttf x xfx)()( )(xf )0(x 目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 )()(d)(aFbFxxf b a ( 牛顿牛顿 - 莱布尼茨公式莱布尼茨公式) 证证: 根据定理根据定理 1, 故故 CxxfxF x a d)()( 因此因此 )()(d)(aFxFxxf x a 得得 记作记作 定理定理2. 函数函数 , 则则 或或 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算计算 解解: x x x arctan 1 d 3 1 2 1 3 ) 1arctan(3arctan 3 12 7 例例8. 计算正弦曲线计算正弦曲线 的面积的面积 . 解解: 0 dsinxxA xcos 0 1()12 ) 4 ( O y x xysin 目录 上页 下页 返回 结束 11 例例9 9 2 0 d)1sincos2( xxx 原式原式 2 0 cossin2 xxx 2 3 解解 例例1010 , 21, 5 , 10,2 )( x xx xf设设 .d)( 2 0 xxf求求 解解 2 0 d)(xxf 1 0 2 1 d5d2xxx 6 1 0 d)(xxf 2 1 d)(xxf 目录 上页 下页 返回 结束 12 例例11.11. 2 2 2 d,maxxxx 解 由图形可知由图形可知 ,max)( 2 xxxf 原式原式 2 11 注 如被积函数是分段函数如被积函数是分段函数, 应分段分成几个应分段分成几个 再用再用牛牛莱公式莱公式. 积分积分, 0 2 2dx x 1 0 dxx 2 1 2dx x , 2 x 02 x, 2 x , x 10 x 21 x x y O xy 2 2 1 2 xy 目录 上页 下页 返回 结束 13 例例12.12. 解解 xxd2sin1 2 0 求求 xxd2sin1 2 0 xxxd)sin(cos 2 0 2 4 0 )cos(sin xx 2 0 dsincos xxx 222 如被积函数有绝对值如被积函数有绝对值, 注注 2 4 )sincos( xx 再用再用 去掉后去掉后, N-L公式公式. 0 4 xxxd)sin(cos 4 2 xxxd)cos(sin 应分区间将绝对值应分区间将绝对值 目录 上页 下页 返回 结束 14 例例13.13. 试证明试证明:积分中值定理中的积分中值定理中的 可在开区间可在开区间 ),(ba 取得取得, 即如果 即如果 ,)(baCxf 则至少则至少 存在一点存在一点 ),(ba 使得使得 ).)(d)(abfxxf b a 证证 令令 ),(d)()(bxattfxF x a 上上在在,)(baxF由由定理定理1 1 (原函数存在定理原函数存在定理)知知: 可导可导, 根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理, 至少存在一点至少存在一点 ),(ba 使得使得 ),)()()(abFaFbF 即即 b a xxfd)( ).()(xfxF ).)(abf 目录 上页 下页 返回 结束 15 例例14.14. 解解 nnnn n 1 2 1 1 1 lim求极限求极限 此极限实为一积分和的极限此极限实为一积分和的极限. n i n in 1 1 lim n n i n i n 1 1 1 lim 1 i x i xd 1 0 )1ln(x 2ln )1()(limd)( 1 0 n i ii b a xfxxf 定积分是代数和的推广定积分是代数和的推广, 无穷小无穷小的的无限项无限项的代数和的代数和. 即它表示每项为即它表示每项为 用定积分求极限时用定积分求极限时, 需将需将(1)式中的两个式中的两个 任意量任意量 用特殊的值处理用特殊的值处理. 1 0 x 1 1 dx x 2 1 1 或或 目录 上页 下页 返回 结束 16 微积分基本公式 2002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分 填空题填空题 n n nnn n cos1 2 cos1cos1 1 lim 22 解 nn i n i n 1 cos1lim 1 x x d 2 cos2 1 0 2 原式 22 xx dcos1 1 0 目录 上页 下页 返回 结束 17 )21(lim 2 n n n n 求极限求极限 解 原式= n n nnn n 211 lim n i n n 1 1 lim xxd 1 0 n i 微积分基本公式 3 2 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有 1. 微积分基本公式 xxf b a d)( 积分中值定理 )(abF)()(aFbF 微分中值定理 )(abf 牛顿 莱布尼茨公式 2. 变限积分求导公式 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 第三节 5 ; 6 (5) (7)(9) (11)(12) ; 9 ; 12; 13 习题5-2（P243） 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解解： 1. 设 求 定积分为常数 , ,d)( 1 0 axxf 设 bxxf 2 0 d)( , 则 故应用积分法定此常数 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 证证： 试证: 当 0 lim x x x x xx 2 1 0 2 3 sin 2tan lim 目录 上页 下页 返回 结束 时, = o( ) . x x x xx 2 1 0 2 3 2 lim x x x 2 1 2 0 2 lim 0 所以