四川省成都市双流区棠湖中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）

四川省成都市双流区棠湖中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解分式不等式求出集合，根据交集定义求出结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.若（，i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】a【解析】【分析】化简可得，根据两复数相等的原则，解出a，b，即可得结果【详解】由题意得，所以，所以，所以复数在复平面内对应的点为（3，-2）在第四象限【点睛】本题考查两复数相等概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。3.已知实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）a. 3b. 9c. 22d. 25【答案】b【解析】【分析】根据约束条件，做出可行域，利用目标函数的几何意义，找到最优解，从而得到最值详解】做出可行域，如图所示，做出直线：，平移直线，由图可知，当过点a（2,1）时，截距最大，此时z最小，所以，故选b【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题4.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】a【解析】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选a.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.5.“”是“”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】先考虑充分性. ,=，因为，所以，所以“”是“”的充分条件.再考虑必要性.,=，不能推出. 如：a=-3,b=-1.所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：a【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知在上有最小值，则实数t的取值范围可以是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据x的范围，可求出的范围，结合的图像与性质，即可求解。【详解】因为，所以，因为有最小值，结合的图像与性质可得，即，故t的范围可以是，故选d【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查分析推理的能力，属基础题7.已知，则，的大小关系为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先比较的大小，再比较的大小，进而可得答案【详解】由题得，又，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增。，即，因此，故选c【点睛】本题考查实数大小的比较和考查导数在研究函数中的应用，考查学生对知识的理解掌握水平和分析推理能力，解题的关键是通过通过构造函数并利用函数的单调性解决问题，属于中档题8.已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（ ）a b. c. d. 以上都不对【答案】c【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选c点睛：几何概型计算面积比值。9.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，则（ ）a. -3b. -2c. -1d. 0【答案】c【解析】【分析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.【详解】因为函数是偶函数，所以所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，所以所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故选：c【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知平面内的两个单位向量，它们的夹角是60，与、向量的夹角都为30，且，若，则值为（ ）a. b. c. 2d. 4【答案】d【解析】【分析】由在的角平分线上，得到，即，再由，根据向量的数量积的运算列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得在的角平分线上，所以,再由可得，即，再由，得，解得，故，所以，故选d.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，得到，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知f是抛物线的焦点，点p在抛物线上，点，则的最小值是（ ）a. b. c. 1d. 【答案】a【解析】【分析】过点p做pm垂直于准线，垂足为m，由抛物线的定义可得,则，为锐角。即当pa和抛物线相切时，最小。再利用导数的几何意义求切点坐标，即可求解。【详解】由题意可得，抛物线的焦点f（0,1），准线方程为过点p做pm垂直于准线，垂足为m，由抛物线的定义可得,则，为锐角。故当最小时，最小，即当pa和抛物线相切时，最小。设切点，由，得，则pa的斜率为解得，即，此时，所以，故选a【点睛】本题考查抛物线的定义，导数的几何意义，考查分析推理，化简求值的能力，综合性较强，属中档题。12.已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】构造函数和，则函数的图象过定点，画出函数的图象，求出直线与相切时的值，然后结合图象可判断出所求的取值范围【详解】令和，则函数的图象过定点画出函数的图象，如下图所示由消去整理得.令，解得或（舍去）.又易知曲线在处的切线的斜率为1结合图象可得：当时，和图象有两个不同的交点，所以方程有3个不同的实根；当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实根；当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有1个实根或没有实根；当时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实根综上可得所求的范围为故选b【点睛】解答本题的关键有两个：一个是运用转化的思想方法，将方程根的个数的问题转化为两函数图象公共点个数的问题；二是运用数形结合的思想进行求解，以增强解题的直观性解题时的注意点是确定两图象公共点个数变化时的临界位置第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则_【答案】【解析】【分析】依题意可得，解之即得解.【详解】依题意可得，解得.故答案为：1320【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.设向量，且，则_.【答案】1【解析】【分析】直接利用向量平行的坐标表示求解.【详解】由题得2x-(x+1)=0,所以x=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知中，则该三角形的面积是_.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式求面积得解.【详解】由题得所以三角形的面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数，其中，若恒成立，则当取最小值时，_.【答案】1【解析】【分析】把不等式变形为：，因此可以考虑直线与相切的情况。设出切点的坐标为，根据导数的几何意义，得出的方程，构造函数，利用导数，求出的最小值，也就能求出的值。【详解】由，可得，设直线与相切于点， ，所以有， ，设，构造函数 ，所以当时，有最小值，也就有当时，有最小值，此时所以.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,解决本题的关键是转化为函数问题，利用导数得出最值.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2）.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？总计男生身高女生身高总计（3）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，设男生数为，则，得.由男生的人数为40，得女生的人数为.（2）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：总计男生身高301040女生身高65460总计3664100，所以能有的把握认为身高与性别有关；（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.设男生为，女生为，.从6人任选2名有：，共15种可能，2人中恰好有一名女生：，共8种可能，故所求概率.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.已知的内角，的对边分别为，.（）求角；（）若，求及的面积.【答案】（）（），【解析】【分析】（）根据正弦定理将所给条件变形、并结合三内角的关系可得，于是得到，故（）由余弦定理求出，进而可得三角形的面积【详解】（）由题意及正弦定理可得，即，又，（）由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去）.【点睛】根据正余弦定理求三角形的内角时，在求出内角的三角函数值后容易忽视角的范围，从而造成失分另外，三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，在应用余弦定理时要注意整体思路的运用，以简化解题的过程19.如图，在以，为顶点的五面体中，在平面上的射影为的中点是边长为的正三角形，直线与平面所成角为.（i）求证：；（）若，且，求该五面体的体积.【答案】(i)见证明；() 【解析】【分析】（i）记的中点为，连接，先证明平面，再证；（）先证明棱柱为直棱柱. 再求,即得该五面体的体积.【详解】证明：（i）记的中点为，连接，由在平面上的射影为中点，得平面，又，.由直线与平面所成角为，易得，又由，得，又，得.由，得平面，平面，.（）由（i），平面，平面，平面，平面，平面平面，由题意，棱柱为直棱柱. ，该五面体的体积为：.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，成立.当时，.当时，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出.（2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.【详解】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.将点代入，整理得.联立，得，故椭圆的标准方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以 .当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，则，所以 .设，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以 ，综上，的面积为定值.【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆相切和相交，设而不求的方法表示弦长和三角形面积等，涉及知识点较多，对计算要求较高，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参