天津市和平区2020届高三数学下学期线上学习阶段性评估检测试题（含解析）

天津市和平区2020届高三数学下学期线上学习阶段性评估检测试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合a1，2，6，b2，4，cxr|1x5，则（ab）c（）a2b1，2，4c1，2，4，5dxr|1x52设ar，则“|a1|1”是“a2+3a0”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分也非必要条件3已知过点p（2，2）的直线与圆（x1）2+y25相切，且与直线axy+10垂直，则a（）a-12b1c2d124某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549根据上表可得回归方程y=bx+a的b等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）a54万元b55万元c56万元d57万元5设asin6，blog23，c（14）23，则（）aacbbcabcbacdcba6著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）=ex-e-xx2的图象大致是（）abcd7已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y22px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）a25b23c43d458已知函数f（x）cosx|sinx|，那么下列命题中假命题是（）af（x）是偶函数bf（x）在，0上恰有一个零点cf（x）是周期函数df（x）在，0上是增函数9已知函数f（x）=|x+1|，-7x01nx，e-2xe，g（x）x22x，设a为实数，若存在实数m，使f（m）2g（a）0，则实数a的取值范围为（）a1，+）b（，13，+）c1，3d（，3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上10设复数z满足（1+i）z3i，则|z| 11二项式(2x-13x)8的展开式中，常数项为 （用数字作答）12如图，在直三棱柱abca1b1c1中，若四边形aa1c1c是边长为4的正方形，且ab3，bc5，m是aa1的中点，则三棱锥a1mbc1的体积为 13一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的概率是 若x表示摸出黑球的个数，则ex 14已知a0，b0，当（a+4b）2+1ab取得最小值为 时，a+b 15如图，在等腰abc中，abac3，d，e与m，n分别是ab，ac的三等分点，且dnme=-1，则tana ，abbc= 三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=32sin2xcos2x-12（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合（2）设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且c=3，f（c）0，若sinb2sina，求a，b的值17如图，在三棱柱abca1b1c1中，已知bc1，bb12，bcc190，ab侧面bb1cc1（1）求直线c1b与底面abc所成角的正弦值；（2）在棱cc1（不包含端点c，c1）上确定一点e的位置，使得eaeb1（要求说明理由）（3）在（2）的条件下，若ab=2，求二面角aeb1a1的大小18（15分）已知点a（1，2）是离心率为22的椭圆c：x2b2+y2a2=1（ab0）上的一点，斜率为2的直线bd交椭圆c于b、d两点，且a、b、d三点不重合（ i）求椭圆c的方程；（ ii）求证：直线ab，ad的斜率之和为定值（ iii）abd面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？19已知正项等比数列an满足a12，2a2a4a3，数列bn满足bn1+2log2an（1）求数列an，bn的通项公式；（2）令cnanbn，求数列cn的前n项和sn；（3）若0，且对所有的正整数n都有22k+2bnan成立，求k的取值范围20已知函数f(x)=-12ax2+(1+a)x-lnx(ar)（1）当a0时，求函数f（x）的最小值；（2）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（3）当a0时，设函数g（x）xf（x），若存在区间m，n12，+)，使得函数g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数k的最大值一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1a1，2，6，b2，4，ab1，2，4，6，又cxr|1x5，（ab）c1，2，4故选：b2|a1|1，解得：0a2，a2+3a0，解得：0a3，“|a1|1”是“a2+3a0”的充分非必要条件故选：a3因为点p（2，2）满足圆（x1）2+y25的方程，所以p在圆上，又过点p（2，2）的直线与圆（x1）2+y25相切，且与直线axy+10垂直，所以切点与圆心连线与直线axy+10平行，所以直线axy+10的斜率为：a=2-02-1=2故选：c4由题意，x=14（1+2+4+5）3，y=14（10+26+35+49）30回归方程y=bx+a的b等于9，3093+a，a3y9x+3当x6时，y96+357万元故选：d5a=12，b1，c=(12)4312，cab故选：b6根据题意，函数f（x）=ex-e-xx2，其定义域为x|x0，有f（x）=e-x-exx2=-（ex-e-xx2）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除a，又由x0时，有exex，即有exex0，则有f（x）0，排除d，当x+时，f（x）+，排除c；故选：b7根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线y22px的准线方程为x=-p2，则p4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（2，0），即a2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y12x，由双曲线的性质，可得b1；则c=5，则焦距为2c25故选：a8对于a，函数f（x）cosx|sinx|，定义域为r，且满足f（x）cos（x）|sin（x）|cosx|sinx|f（x），f（x）为定义域r上的偶函数，a正确；对于b，x，0时，sinx0，f（x）cosx|sinx|cosx+sinx=2sin（x+4），且x+4-34，4，f（x）在，0上恰有一个零点是4，b正确；对于c，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数f（x）是最小正周期为2的周期函数，c正确；对于d，x，0时，f（x）=2sin（x+4），且x+4-34，4，f（x）在，0上先减后增，d错误故选：d9g（x）x22x，设a为实数，2g（a）2a24a，ar，y2a24a，ar，当a1时，y最小值2，函数f（x）=|x+1|，-7x01nx，e-2xe，f（7）6，f（e2）2，值域为2，6存在实数m，使f（m）2g（a）0，22a24a6，即1a3，故选：c二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卷上10由（1+i）z3i，得z=3-i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-4i2=12i，|z|=12+(-2)2=5；故答案为：511依题意，二项式(2x-13x)8的展开式的第k+1项为：tk+1=c8k(2x)8-k(-1)k(x-13)k=c8k(-1)k28-kx8-43k，由8-43k=0解得，k6，所以常数项为：(-1)622c86=112，故答案为：11212在直三棱柱abca1b1c1中，若四边形aa1c1c是边长为4的正方形，且ab3，bc5，a1c1aa1，ac2+ab2bc2，a1c1a1b1，aa1a1b1a1，a1c1平面a1mb，m是aa1的中点，sa1mb=12saa1b=12(1234)=3，三棱锥a1mbc1的体积：va1-mbc1=vc1-a1mb=13sa1mba1c1=1334=4故答案为：413恰有一个黑球的概率p=213152=35由题意可得：x0，1，2p（x0）=3252=310，p（x1）=35，p（x2）=2252=110可得x的分布列： x 0 1 2 p 310 35 110ex=0310+135+2110=45故答案为：35，4514因为a0，b0，所以a+4b4ab，当且仅当a4b时取等号，所以（a+4b）216ab，则（a+4b）2+1ab16ab+1ab216ab1ab=8，当且仅当a=4b16ab=1ab即a1，b=14时取等号，此时取得最小值8，a+b=54故答案为：8，5415以边bc所在直线为x轴，以边bc的中垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设a（0，b），b（a，0），c（a，0），且d，e与m，n分别是ab，ac的三等分点，d（-a3，2b3），e（-2a3，b3），m（ a3，2b3），n（ 2a3，b3），dn=（a，-b3），me=（a，-b3），且 dnme=-1，a2+b29=-1，又ac3，a2+b29，联立得，a2=95，在abc中，由余弦定理得，cosa=9+9-4a2233=18-36518=35因为a为等腰三角形的顶角；且cosa=35，sina=1-cos2a=45；tana=34；sina2=1-cosa2=55；cosbcos（-a2）sina2=55；abbc=-babc=-32acosb335555=-95故答案为：34，-95三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本题满分为14分）解：（1）f（x）=32sin2xcos2x-12=32sin2x-1+cos2x2-12=sin（2x-6）1，4分当2x-6=2k-2，即xk-6（kz）时，f（x）的最小值为2，6分此时自变量x的集合为：x/xk-6，kz7分（2）f（c）0，sin（2c-6）10，又0c，2c-6=2，可得：c=3，9分sinb2sina，由正弦定理可得：b2a，又c=3，由余弦定理可得：（3）2a2+b22abcos3，可得：a2+b2ab3，13分联立解得：a1，b214分17如图，以b为原点建立空间直角坐标系，则b（0，0，0），c1（1，2，0），b1（0，2，0）（1）直三棱柱abca1b1c1中，平面abc的法向量bb1=(0，2，0)，又bc1=(1，2，0)，设bc1与平面abc所成角为，则sin=|cosbb1，bc1|=255（2）设e（1，y，0），a（0，0，z），则eb1=(-1，2-y，0)，ea=(-1，-y，z)eaeb1，eb1ea=1-y(2-y)=0y1，即e（1，1，0）所以e为cc1的中点（3）a（0，0，2），则ae=(1，1，-2)，b1e=(1，-1，0)，设平面aeb1的法向量m（x1，y1，z1），则mae=0mb1e=0x1+y1-2z1=0x1-y1=0，取m（1，1，2），be=(1，1，0)，beb1e=1-1=0beb1e，又bea1b1be平面a1b1e，平面a1b1e的法向量be=(1，1，0)，cosm，be=22，二面角aeb1a1为4518（）点a（1，2）是离心率为22的椭圆c：x2b2+y2a2=1（ab0）上的一点，e=ca=221b2+2a2=1a2=b2+c2，解得a2，b=2，c=2，椭圆c的方程为x22+y24=1（2分）证明：（）设d（x1，y1），b（x2，y2），直线ab、ad的斜率分别为：kab、kad，则kad+kab=y1-2x1-1+y2-2x2-1=2x1+b-2x1-1+2x2+b-2x2-1=22+bx1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1，（*）设直线bd的方程为y=2x+b，联立y=2x+b2x2+y2=4，得4x2+22bx+b2-4=0，8b2+640，解得22b22，x1+x2=-22b，x1x2=b2-44-，将、式代入*式整理得22+bx1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1=0，kad+kab0，直线ab，ad的斜率之和为定值解：（）|bd|=1+(2)2|x1x2|=364-8b24=628-b2，设d为点a到直线bd：y=2x+b的距离，d=|b|3，sabd=12|bd|d=24(8-b2)b22，当且仅当b2时取等号，2(-22，22)，当b2时，abd的面积最大，最大值为219（1）正项等比数列an的公比设为q，q0，a12，2a2a4a3，可得4q2q32q2，解得q2（1舍去），可得an2n；bn1+2log2an1+2log22n1+2n；（2）cnanbn（2n+1）2n，前n项和sn32+54+78+（2n+1）2n，2sn34+58+716+（2n+1）2n+1，两式相减可得sn6+2（4+8+2n）（2n+1）2n+16+24(1-2n-1)1-2-（2n+1）2n+1，化简可得sn2+（2n1）2n+1；（3）若0，且对所有的正整数n都有22k+2bnan成立，即为22k+21+2n2n的最大值，由1+2(n+1)2n+1-1+2n2n=1-2n2n+10，可得1+2n2n递减，可得n1时，取得最大值32，可得22k+232，即为k2+12的最小值，可得2+122212=2，当且仅当=12时取得最小值2，则k220（1）当a0时，f（x）xlnx（x0），这时的导数f(x)=1-1x，令f（x）0，即1-1x=0，解得x1，令f（x）0得到x1，令f（x）0得到0x1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增；故函数f（x）在x1时取到最小值，故f（x）minf（1）1；（2）当a0时，函数f(x)=-12ax2+(1+a)x-lnx导数为f(x)=-ax+1+a-1x=-(x-1)(ax-1)x，若a1时，f（x）0，f（x）单调递减，若a1时，1a1，当x1或0x1a时，f（x）0，当1ax1时，f（x）0，即函数f（x）在区间(0，1a)，（1，+）上单