安徽省安庆市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理

安徽省安庆市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理第i卷1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则 a. b. c. d. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列判断正确的是 a. 的虚部为 b. c. d. 3. 设：，：，则是成立的 a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件4. 函数的大致图象是 5. 等比数列的前项和为.若，则 a. b. c. d.6. 改革开放40多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了19832017年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错误的是 a. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势b. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势c. 2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快d. 2015年至2017年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率7. 已知矩形，分别为，的中点，将四边形沿折起,使，则过，六点的球的表面积为 a. b. c. d. 8. 已知函数（）的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为 a b c d9. 今年（2020年）是闰年. 如图所示是判断20003000（包括2000，但不包括3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在20003000年中年份是闰年的个数是a.241 b.242 c.243 d.24410. 已知抛物线（）的焦点为，准线与轴交于点，过点作圆的切线，切点分别为，. 若，则的值为 a. b. c. d. 11. 棱长为1的正方体中，分别为的中点，现有下列结论：；平面；平面；四面体的体积等于.其中正确的是a. b. c. d. 12. 函数恰有两个零点，且. 则所在区间为 a. b. c. d.第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，与的夹角为，则 .14. 等差数列中，是其前n项和，则使取最大值的的值为 .15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点c为线段ab的三等分点且，分别以线段ab，ac，bc为直径且在ab同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以ab为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为 .16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线方程记为， 直线:与双曲线在第一象限内交于点，若，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（本小题满分12分）在中，角，所对的边分别是，且.（）求角的大小；（）若的周长等于，面积等于，求，的值18.（本小题满分12分）如图，在四面体中， 是线段的中点， ，（）证明：；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值19.（本小题满分12分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.（i）从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户.若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3，4）（单位：kg)的概率是多少？若抽取的5户中购买量在3，6（单位：kg)的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在3，6（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；（ii）将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，是的右焦点，过点的直线交于点和点（）当直线与轴垂直时，（）求椭圆的方程；（）设直线交轴于点，过点作轴的平行线交直线于点求证：直线过线段的中点21.（本小题满分12分）已知函数（）.（）讨论的单调性；（）当时，对任意的，且，都有，求实数的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分10分），在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）若直线与曲线交于，两点，且，求的值23. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知，且()若对于任意的正数,不等式恒成立，求实数的取值范围；()证明：.2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）参考答案第i卷2、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案acaabddbcccd1.a.解析：，所以.故选a.【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集的计算方法.2.c.解析：，其虚部为，a错；，b错；，c正确；，d错误.故选c.【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质.3.a.解析：，：，而，所以是成立的充分不必要条件.故选a. 【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力.4.a.解析：函数的定义域为，且为偶函数，排除选择支；当时，排除b，故选a.【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力.5.b.解析：设公比为，则，所以，解得，故选b.【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前项和公式等基础知识，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.6.d.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故a正确；根据“农村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”，计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故b正确；年 份1983198719911995199920032007201120152017农村居民人均生活消费支出2122834927368959422016340874869050恩格尔系数67616156525052494243农村居民人均食品支出总额142.0172.6300.1412.2465.44711048.31669.93144.13891.5农村居民人均生活消费支出比较上一统计数据的增长量712092441594710741392407815642011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长4078元，为最快；故c正确；2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率为，人均食品支出总额增长比率为，故d错误.选d.【考查目标】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力.7.d解析：方法一：折起的如图所示，其中，分别为正方形和的中心, 为过，六点的球的球心，为中点，则，分别垂直于这两个平面，且，所以，而，所以，所以球的表面积为.方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形，且，因此球心为的中点，所以球的表面积为.故应选d.【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.8.b.解析：，由其最小正周期为，有，所以，将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象对应函数为，其图象关于对称，则有，由，实数的最小值为.选b.【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况.考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换.考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力.9.c.解析：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除由，得，所以在20003000年中，年份能被4整除个数是250. 同理可得，在20003000年中，年份能被100、400整除个数分别是10和3，所以闰年的个数为，故应选c.【考查目标】本题考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想.10.c.解析：连接，因为就是圆的圆心，所以，且. 又，所以，那么，所以是等边三角形，所以. 又，所以.故应选c.【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关系的分析能力.11.c.解析：如图1，取中点，连接与，则，平面，则与异面，矛盾，故错误；如图2，取中点，易得平面平面，故正确；若正确，则,则，矛盾，故错误；（另解：由结论平面和知不平行也可判断错误）.如图2，故正确.（也可以这样判断：如图3，过点作的垂线，垂足为，因此，平面，.或者）.故选c.【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力.12.d.解析：方法一：当时，不符合题意；当时，考查函数与图象易知，与图象在区间上必有一个交点，则在区间上有且仅有一个公共点，当时，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则只需，故，当时，易知，可知.方法二：令，令，作出图象如下，可知函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递减，由题意可知，而，故应选d.【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.3.解析：由于，所以，所以.【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.14.16.解析：方法1：设公差为，由得，故，即，所以时，取得最大值.方法2：设公差为，由得，故，且，又因为，其对应为二次函数的图像开口向下，对称轴为，故时，取得最大值.【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力.15. 解析：设，则，于是阴影部分的面积为，于是所求概率为.【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.16.解析：延长交直线于点,则由角平分线的性质可得为的中点，易得，代入双曲线有，解得.【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维方法和考生对数量关系的分析能力.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题满分12分）解析：（）由，根据正弦定理得，根据余弦定理得，由，所以. 5分（）由，得. 又，由（）知，所以，化简得.得，或者. 所以，或者. 12分【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力.18.（本小题满分12分）解析：（）取线段的中点，连接，.因为是线段的中点，所以又，所以因为，是的中点，所以因为平面，平面，所以平面，而平面，所以 5分（）令，则，那么，所以，所以又，故可以点为原点，射线、分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示则，所以，设平面、平面的法向量分别为，由，得，取，则.由，得，取，则.所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分解法二：令，由已知及（）得，所以，均为棱长为的正三角形.取中点，则,，故为二面角的平面角，在中，由余弦定理可得：,故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考生的运算求解能力.19.（本小题满分12分）解析：（i）由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为. 1分记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为，则. 3分随机变量所有可能的取值为0，1，2.则,012所以 7分 （ii）每天对甲类物资的购买量平均值为（kg） 8分则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为4，6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，若从小区随机抽取10户，且抽到户为“迫切需求户”，则，故，若k户的可能性最大，则，得，解得，由于,故. 12分【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.20.（本小题满分12分）解析：（）由，得，所以因为直线经过点，且，当直线与轴垂直时，则，且，所以，故，得，所以，所以椭圆的方程为 4分（）由（）有直线，故，因为，则线段的中点为.当直线与轴垂直时，且，故，这时直线的方程为，即令，得，所以直线过线段的中点当直线不与轴垂直时，可设其方程为，代入，整理得所以，因为，所以直线的方程为因为，所以，这说明直线过点综上，可知直线过线段的中点 12分【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考