广东省揭阳市榕城区第三中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）

广东省揭阳市榕城区第三中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）第卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1.已知集合，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】化简集合a，根据集合的交集运算求解即可.【详解】，则.所以本题答案为d.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属基础题.2.设，则“”是“”的（）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】b【解析】【分析】求出不等式的解，根据包含关系即可确定结论.【详解】不等式的解为x1或x-3，所以“”是“”成立的必要不充分条件.所以本题答案为b.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念，以及对必要不充分条件的判断，属基础题.3.设f(x)为定义在r上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-2)=（ ）a. 6b. -6c. 4d. -4【答案】a【解析】f(x)为定义在r上的奇函数，且当时，选a 4.若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】所以5.函数y2log4(1x)的图象大致是a. b. c. d. 【答案】c【解析】函数的定义域为且单调递减，故选c.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6.函数f（x）=log2x的零点所在的区间为（）a. （0，1）b. （l，2）c. （2，3）d. （3，4）【答案】b【解析】 单调递增 ，所以零点所在的区间为(1,2)，选b.7.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()a. b. c. d. 【答案】d【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选d.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8.若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出函数的对称轴，讨论区间与对称轴的位置关系，从而得到结果.【详解】函数的对称轴是，函数在区间上是单调函数，且函数的图象是开口向上的，则当，即时，函数在区间上是单调增函数；当，即时，函数在区间上是单调减函数.的取值范围是.所以本题答案为c.【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，由对称轴确定二次函数的单调性是常用手段，属基础题.9.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）a. -4b. -2c. 0d. 2【答案】c【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，将目标函数化为斜截式，通过平移得到过点c（2，0）时取得最小值.【详解】目标函数可化简为：y=2x-4+z,根据图像得到当目标函数过点c（2，0）时取得最小值，代入得到.故答案为：c.【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.10.若正数满足，则的最小值为a. b. c. d. 3【答案】a【解析】【分析】由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选a.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知函数在处的极值为6，则数对为（ ）a. b. c. d. 或【答案】d【解析】【分析】求出原函数的导函数，利用函数在处有极值6，得到，联立方程组求解a和b的值即可得到结果.【详解】由得：，在处有极值6，计算得出：，或，则数对为或.所以d选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了已知函数的极值求解参数的问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题.12.已知函数f（x）则函数g（x）2f（x）23f（x）2的零点个数为a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】b【解析】【分析】令，解得或，利用导数研究函数的单调性，画出草图，由图可知有一个零点，有两个零点，从而可得结果.【详解】因为 所以，当时，故当时，当时，且，作出函数的大致图象；令，解得或，由图可知有一个零点，有两个零点，所以函数共有3个零点，故选b.【点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.第卷（非选择题满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13.函数的定义域_【答案】xx-1且x2【解析】【分析】根据函数表达式得到解出即可.【详解】根据函数表达式得到.故答案为：【点睛】求函数定义域的注意点：(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接.14.已知函数，则_【答案】-1【解析】【分析】设，判断是奇函数，利用已知条件和奇函数的性质求出，从而得到的值.【详解】因为，所以可设，即，所以为奇函数.因为，所以，即，所以.故本题正确答案为.【点睛】本题考查奇函数的概念和性质，考查了构造函数的方法，根据题意构造奇函数是解决本题的关键，属中档题.15.已知函数若，则a_【答案】【解析】试题分析：当时，解得；当时，解得.考点：分段函数的求法.16.已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用函数的对称性，由可知函数关于直线对称，然后再根据所得性质构造函数，最后把进行单调性转化，整理出不等式，最后求解，即可求出实数的取值范围.【详解】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是答案为：【点睛】本题考查函数的对称性与构造函数的应用，难点在于根据已有的函数性质构造出相应的函数，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17.在等差数列中，前4项和为18.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，即可求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和，计算求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为.由已知得，解得，所以；（2）由（1）可得，所以，-，得，所以.【点睛】本题考查等差数列的基本运算和错位相减法求和，要求熟记公式，认真计算，属中档题.18.已知函数，.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式即可；（2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，则方程的两个根为1和2，由根与系数的关系可得，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集为；（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，则，即，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.19.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据中位线的性质可得 可得 根据线面平行的判定定理即可得平面。（2）由 可得 再由等腰三角形三线合一可得 根据线面垂直的判定定理即可得 再根据线面垂直的性质可得.【详解】解：（1）因为，分别为，的中点，所以.在直三棱柱中，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为，为的中点，所以.因为三棱柱是直棱柱，所以平面.又因为平面，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，所以.【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系。20.已知函数，.（1）若曲线在处的切线与函数也相切，求实数的值；（2）求函数在上的最小值【答案】（1）或-1（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程，再与联立消去y得到关于x的一元二次方程，令判别式为0即可求得结果；（2）利用函数的导数求出函数的单调区间， 通过讨论t的范围从而求出的最小值即可.【详解】（1），当时，所以在处切线方程为.联立，得，由题意可知，所以或-1；（2）由（1）知，当时，单调递减，当时，单调递增当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上，.【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线相切的概念，考查了利用导数研究函数的最值和分类讨论的思想运用，综合性强，属难题.21.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益p、种黄瓜的年收益q与投入a(单位：万元)满足p80120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？【答案】（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大, 且最大收益为万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.试题解析： （1）甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，（2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282