重庆市重庆一中2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）

重庆市重庆一中2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据分式不等式的解法得到集合b，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合，集合，根据集合的交集运算得到.故答案为：c.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在等差数列中，则（ ）a. b. 9c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据等差数列的性质得到【详解】等差数列中，,根据等差数列的运算性质得到故答案为：a.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.3.如果,那么下列不等式成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解.详解：-（）=，因为，所以所以.故答案为：d.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4.在等比数列中，已知，则该数列的公比（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据等比数列的性质得到进而解得，由等比数列的通项公式得到结果.【详解】等比数列中，已知 故答案为：a.【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.5.下列命题正确的是（ ）a. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。b. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。c. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。d. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。【答案】b【解析】【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于a选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于b，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于c，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于d，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：b.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.6.数列的通项公式为,其前项和为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据数列通项依次列举出数列的项，进而发现，每4项之和为0，从而求解.【详解】数列的通项公式为, 可知每四项之和为0，故得到故答案为：c.【点睛】这个题目考查了数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：列项求和，倒序相加求和，错位相减求和，以及列举数列的项，找规律求和.7.已知数列满足：，则 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】将原式子变形为结合等差数列的通项公式的求法得到结果.【详解】数列满足：，, 是以为首相为公差的等差数列， 故答案：b.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.8.已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】将原式平方，再由向量点积的计算公式得到结果.【详解】单位向量满足,两边平方得到.故答案为：b.【点睛】本题考查了向量点积公式的应用，以及向量夹角的定义，属于基础题.9.中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ）a. 里b. 里c. 里d. 里【答案】a【解析】【分析】根据题意得到马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.【详解】设马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700， 故答案为：a.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.10.已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（ ）a. 6b. 7c. 10d. 12【答案】c【解析】【分析】先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为等差数列的前项和有最大值，所以，又，所以，且，所以，所以满足的最大正整数的值为10【点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.11.三角形中，,，为线段上任意一点，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据向量的线性表示得到，由向量点积公式得到原式等于：，根据二次函数的性质得到结果.【详解】设， 结合题目中条件得到原式等于：,结合二次函数的性质得到范围是：.故答案为：b.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.12.点c是线段ab上任意一点，是直线ab外一点，不等式对满足条件的及恒成立，则实数的取值范围（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据结论得到代入不等式并且化简得到：，对其求导得到单调性和最值，进而得到结果.【详解】根据向量中的共线定理得到，根据等式两边均为正，得到，代入不等式并且化简得到：对这个函数求导得到： 原问题对于n是恒成立问题，对于是有解问题，故原不等式等价于，函数 代入得到 故答案为：d.【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，涉及多个变量的问题；一般恒成立或有解求参，首选变量分离，对于多个变量的问题一般是先看成其中一个变量的函数，再看成另一个变量的函数.二、填空题.13.已知，与共线，则_.【答案】【解析】【分析】已知向量的坐标，根据向量共线得到表达式，进而求解.【详解】，与共线,则.故答案为：2.【点睛】这个题目考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.14.内角的对边分别为，若，则角等于_.【答案】【解析】【分析】根据三角形正弦定理得到结果.【详解】根据三角形中的正弦定理得到 故答案为：.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理的应用，属于基础题.15.已知是与的等差中项，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质得到，原式可化为进而得到结果.【详解】是与的等差中项,故得到 等号成立的条件是 故答案为：8.【点睛】本题考查了二元化一元的思想，以及均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.已知数列前项和为，且有（），则数列的前项和_.【答案】【解析】【分析】原式可以转化为化简得到是等比数列公比为2，进而得到之后裂项求和即可.【详解】因为，故得到 化简得到，根据等比数列的性质得到是等比数列，故得到公比为2，故由裂项求和的方法得到前项和 故答案为：.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同。（1）求实数值；（2）若实数，满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先得到绝对值不等式的解集，根据两者解集相同，由韦达定理得到结果；（2）原式子等价于根据均值不等式求解即可.【详解】（1）,解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：。（2），则，当，即时取等号，即时有最小值。【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知数列是等比数列，数列是等差数列，且满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；（2）分组求和即可.【详解】（1）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有即 所以的通项公式为, 的通项公式为.（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。19.如图，已知菱形的边长为2，动点满足，.（1）当时，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1) 时，分别为的中点，可得，根据模长的计算公式得到结果；（2）根据平面向量基本定理得到按照向量点积公式展开得到结果.【详解】（1）当时，分别为的中点，此时易得且的夹角为，则;（2），故.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.20.设向量，在中分别为角a,b,c的对边，且.（1）求角；（2）若，边长，求的周长和面积的值.【答案】（1） （2）周长为6，面积【解析】【分析】(1)根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到结果；（2）根据向量点积的坐标运算得到，结合余弦定理得到，进而求得面积.【详解】（1）由已知可得：,即， ，（2）由题意可知， 由余弦定理可知， ，则即，故周长为，面积【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知数列满足：，数列满足：（）。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和，并比较与的大小.【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.【详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，故数列是等比数列，其公比为。（2）由（1）知，则两式相减得即。【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。22.已知函数为奇函数，且（1）求实数a与b的值；（2）若函数，数列为正项数列，且当，时，设（），记数列和的前项和分别为，且对有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性得到，再由，得;（2），将原式化简得到，进而得到，数列的前项和，原恒成立问题转化为对恒成立，对n分奇偶得到最值即可.【详解】（1）因为为奇函数，得，又，得。（2）由（1）知，得，又，化简得到：，又，所以，又，故，则数列的前项和；又，则数列的前项和为，对恒成立对恒成立对恒成立，令，则当为奇数时，原不等式对恒成立对恒成立，又函数在上单增，故有；当为偶数时，原不等式对恒成立对恒成立，又函数在上单增