刚体的定轴转动

1 / 19 下载文档可编辑 第二章 刚体的定轴转动 教学要求教学要求： 一、理解刚体定轴转动的角速度和角加速度的概念，理解角量与线 量的关系。 二、理解刚体定轴转动定律，能解简单的定轴转动问题。 三、了解力矩的功和转动动能的概念。 四、了解刚体对定轴的角动量定理及角动量守恒定律。 五、理解转动惯量的概念，能用平行轴定理和转动惯量的可加性计 算刚体对定轴的转动惯量。 教学重点：教学重点：刚体定轴转动的力矩、转动惯量、角动量等物理量的概 念和转动定律。 教学难点：教学难点：难点是刚体绕定轴转动的角动量守恒定律及其应用。 物理学研究方法、思维方法：理想化模型-刚体、研究刚体转动 的物理量角量的确定。 类比方法是本章学习和研究的主要方法。 教学方法：启发、类比、讨论 教学内容： 准备知识： 一、刚体：假定无论在多大的外力作用下，物体的形状和大小都保 持不变，也就是物体内任何两质点之间的距离保持不变。这样的理 想物体称为刚体。刚体。 刚体也是常用的力学理想模型。 二、平动与转动：当刚体运动时,如果刚体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动平动； 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆 周运动，这种运动称为转动转动。 如果刚体围绕的转轴的位置是固定不动的，这种转动称为刚体刚体 的定轴转动的定轴转动 2-1 角速度和角加速度 2 / 19 下载文档可编辑 一、一、 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 1、角坐标：如图 2-1 所示，O 为转轴与转动平 面的交点，A 为刚体上的一个质点， A 在这一 转动平面内绕 O 点做圆周运动， A 与转轴的距 离为 r 。t 时刻质点 A 与转轴 O 距离的连线与 基准方向的夹角为 ，称 为角坐标或角位置角坐标或角位置。ox 2、定轴转动的运动学方程：刚体转动时， 随时间变化，它是时 间 t 的函数： （2-1）)(t 上式称为刚体定轴转动的运动学方程刚体定轴转动的运动学方程. 3、角位移：设 t 时刻刚体上所取质点的角坐标是 ，经过一段 时间 ，即 时刻，该质点的角位置为 。我们把 称ttt 为 A 在 时间内的角位移角位移，也是刚体上每个质点的角位移。t 在 SI 中, 角位移的单位是弧度，符号为 rad . 4、角速度：将角坐标 对时间 t 求导数，以描述刚体转动的快 慢，称刚体转动的角速度角速度，用符号 表示： = （2- dt d 2） 在 SI 中，角速度的单位是弧度每秒,符号为 . 1 srad 5、角加速度： 将角速度 对时间 t 求导，以描述角速度变化的 快慢程度，称为刚体定轴转动的角加速度角加速度，用符号表示： = （2-3） 2 2 dt d dt d 图 21 角坐标和 角速度 3 / 19 下载文档可编辑 在 SI 中，角加速度的单位是弧度每平方秒,符号为. 2 srad 除了用角速度 描述物体转动快慢的程度外，还可使用另一个 量-旋转频率，通常用符号 n 表示旋转频率，表示单位时间物体绕 行的转数。旋转频率的单位是转每分，符号，是国家 1 min r 1 min r 选用的非 SI 单位之一.它是工程上常用的单位,与弧度每秒之间的换 算关系为 1=) 1 min r 30 1 srad 二、二、 角量与线量的关系角量与线量的关系 设距转轴为 R 处一质点的线速度为 ，切向加速度为，法向加v t a 速度为（以上各量称为“线量” ） 。角速度 ,角加速度为（以上 n a 各量称为“角量” ） 。下面我们来讨论线量与角量大小的关系。 用 表示与质点的角位移 相对应的圆轨道上的弧长，那么 s Rs 将上式两边对时间求导数，由于线速度 =，角速度 =v dt ds dt d 则可得 ： （2-4）Rv 将式（2-4）两边再对时间求导，由于上式中 = ， =，则可得 ： t a dt dv dt d = R （2-5） t a 利用= 得法向加速度 ： n a R v2 = R （2-6） n a 2 例例 2-12-1 已知刚体转动的运动学方程为 =A+B，式中 A 为无量 3 t 纲的常数,B 为有量纲的常数. 求: (1) 角速度；（2）角加速度； 4 / 19 下载文档可编辑 （3） 刚体上距轴为 r 的一质点的加速度. 解: (1) 由角速度的定义式,得: = = 3B dt d 2 t (2) 将 对时间 t 求导数,得角加速度 = = 6Bt dt d (3) 利用式(25)得距轴为 r 的一点的切向加度为: = =6Brt t ar 根据式(26)得该质点的法向加速度为: = r =9r n a 2 2 B 4 t 所以，加速度的大小是：a = = 22 tn aa 2242 )6()9(BrtrtB 设加速度 a 与速度 v 的夹角为 ，则 满足下式 tgn = t n a a 3 2 3 Bt 2-22-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 一、力矩一、力矩 1、定义： 位矢位矢 与力与力的矢积为力的矢积为力对转轴的力矩对转轴的力矩，用表r F F M 示。 数学表达式为 （27a）FrM 其大小为 (27b) sinrFM 的方向为的方向，按照右手螺旋定M Fr 则判断。 一般是按照力矩的作用来判断力矩的正负： 如力矩的作用是使刚体逆时针转动，则力矩为正；如力矩的作用是 图 22 力矩 5 / 19 下载文档可编辑 使刚体顺时针转动，则力矩为负。 在 SI 中,力矩的单位是牛顿米,符号为.mN 2、意义： 力矩是改变物体转动状态的原因。 二、转动定律和转动惯量二、转动定律和转动惯量 1、转动定律 （1）推导：如图所示，为定轴转动的 一个刚体的转动平面，m 为刚体中任意一 i 个质元的质量。 是 m 对轴的位矢，F 是 i r ii m 受的外力，f 是 m 受的内力，将 F 与 f iiii 按切向与法向分解，用牛顿第二定律的分量式 F =m和 F =m， inn a it a 分别得: 在法向： （a） 2 coscos iiniiiiii rmamFf 切向： (b） iitiiiiii rmamFfsinsin 图 2-3 中法向力对转轴无力矩作用，不必考虑，切向力对转轴有力 矩作用,将(b)式两边分别用 相乘得 i r (C) 2 )sinsin( iiiiiii rmFfr 将(C)式对整个刚体相加可得： )()sinsin( 2 iiiiiii rmFfr 或 （28a）)( 2 iii rmM 将上式中的定义为刚体的转动惯量转动惯量，用 I I 表示。即 2 i n in ir m I I = = （29a） 2 i n in ir m 图 23 刚体的转动定律 6 / 19 下载文档可编辑 则式（28a）可写成： (28b)IM （2）结论：作用于刚体上的合外力矩作用于刚体上的合外力矩等于刚体的转动惯量等于刚体的转动惯量 I I 与刚与刚M 体的角加速度体的角加速度的乘积。的乘积。这一规律称为刚体定轴转动的转动定律转动定律. . 2、转动惯量 （1）定义：转动惯量 I I = = 是一个引入的物理量，它量度 2 i n in ir m 了刚体在转动中转动惯性的大小，在 SI 中，转动惯量 I 的单位是千 克米 ，符号为。 22 mKg （2）转动惯量的计算：由式（29a）可以看出影响转动惯量 大小的因素不仅仅是刚体的质量，还包括各质元与转轴的相对位置， 同样质量的质元，离转轴越远，对转动惯量的贡献越大。若刚体中 质元是连续分布的，所以转动惯量的计算由积分完成，即 I=I= = dmr 2 dVr 2 （2-9b） 计算物体的转动惯量是比较困难的，甚至于无法计算，在工程技术 和科学研究中，常常用实验的方法测量物体的转动惯量。 （3）关于转动惯量的两条规律： a平行轴定理：平行轴定理：根据实际需要，转动物体的固定轴可有多种选 择.设想有两个彼此平行的转轴,一个通过刚体的质心,另一个不通过 质心.两平行轴之间的距离为 d,刚体的质量为 m.如果此刚体对过质 心转轴的转动惯量为 I ,对另一转轴的转动惯量为 I,那么，可以证 c 明 I 和 I 之间的关系为 c 7 / 19 下载文档可编辑 I = I + md c 2 (2-10) 上述关系式称为转动惯量的平行轴定理平行轴定理. 由上式可见,刚体对过质心转轴的转动惯量 Ic,小于刚体对任何与该 质心转轴相平行的转轴的转动惯量 I。 b、对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转 动惯量。把这一规律称为转动惯量的可加性。转动惯量的可加性。 三三 、转动定律的应用、转动定律的应用 一个物体系统中如果有若干个物体,其中有的物体在平动,有的 在转动.这时可以采用“隔离体法”把它们分别“取”出.平动物体 可看作质点,应用牛顿第二定律写出它们的力学方程.定轴转动物体, 可以用转动定律写出它们的转动方程,再找出各隔离体的联系,写出 必要的关系式,然后,把所有公式联立求解. 此外,还可以用动能定理.功能原理和机械能守恒定律计算这类 问题. 例例 2-22-2 如图(2-4a)所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两 边分别悬有质量为的两个物体 A 和 B，已知小于，滑轮 21 mm、 1 m 2 m 可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为，半径为 r， （因而滑m 轮的转动惯量为 I =）.设绳与滑轮间无相对滑动.求物体的加 2 2 1 mr 速度？滑轮的角加速度？及绳的张力？ 解：分别把滑轮，物体 A 和物体 B“隔离”出来,画出它们的受力图,如 图(2-4b)所示.由于不计绳的质量, 且 、 . 因为大 1 / 1 TT 2 / 2 TT 2 m 8 / 19 下载文档可编辑 于,物体 A 的加速度向上,B 的加速度向下,它们的大小相等, 1 m 1 a 2 a 设都用 则 aaaa 21 分别写出 A、B 的力学方程: amTgm amgmT 222 111 再写出滑轮的转动方程: IrTT)( / 1 / 2 由线量与角量的关系得: ra 有牛顿第三定律的: / 11 TT / 22 TT 联立求解得: g mmm mm a )22( )(2 21 12 r g mmm mm )22( )(2 21 12 g mmm mmm TT )22( )4( 21 21/ 11 g mmm mmm TT )22( )4( 21 12/ 11 上述结果表明，两侧绳中张力的大小不等。 2-32-3 力矩的功力矩的功 刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理 一、力矩的功一、力矩的功 如图 2-5 所示，一个绕固定轴转动的圆盘状刚体,在圆盘平O O 面上有外力 F 作用于 A 点.把力沿法向和切向分解为法向力和切向 n F 力。圆盘转动时,法向分力垂直于 A 点的速度,它不做功.因而外 t F n F 力 F 的功等于它的切向分力所做的功,所以: t F 图 24a 图 24b 9 / 19 下载文档可编辑 图 25 力矩的功 (2-dsFrdFdA t 11) 在上式中,是 A 点在圆周上的位移元,是对应的弧长,rdds 用表示与 对应的角位移,有 ddsrdds 把上式代入式(2-11),得 rdFdA t 上式中的 是外力 F 对转轴的力矩,于是可以用力矩表示元功: rFtM （2MddA 12） 当刚体从角坐标转到角坐标时,外力矩共作功: 1 2 (2-13) 2 1 MdA 如果有若干个外力作用于刚体上,先分别计算出每个外力的力矩,求 这些外力矩的代数和,得合外力矩.上式中若是合外力矩,则 A 就是M 合外力矩的功合外力矩的功. 若是恒力矩,与同方向,力矩做的功为 MMd MA 例例 2-32-3 如图 2-6（a）所示，一个转轮 A 绕中心轴的转动惯量为 I，转动的摩擦力矩为,转轮半径为 R,转轮边沿绕有轻的细绳， f M 用恒力 F 拉绳，A 轮被拉动转过 n 圈， （B 轮的质量不计，转轴光滑） 求: 10 / 19 下载文档可编辑 （1）拉力和摩擦力矩对轮做的功. （2）若将恒力 F 换成重物 G 来拉滑轮转动，如图 2-6（b）其他条 件不变，求绳中张力对轮所做的功.(G=mg) 图 26 例 23 图 解:(1)作用在轮上的拉力为恒力 F 时,作用在轮上有两个力矩 及，轮转过 n 圈时,角位移 n FRMF f M2 =n= FF MAd2 F MnRF2 =n f A f M2 f M (2)分离转轮与重物,画出受力图,分别用转动定律和牛顿第二定 律. 对轮有 IMTR f 对重物 G maTG 又因 Ra 联立解得 ImR MmgR f 2 ImR RMIg T f 2 所以 =2TRMA T nRT2 ImR RMIg nR f 2 二、 刚体的转动动能刚体的转动动能 刚体可以看作是有许多质元所组成的。设各质元的质量分别为 11 / 19 下载文档可编辑 m 、 m .,.各质元与转轴的距离分别为 r 、r、.,当刚体绕 1212 定轴转动时,各质元的角速度 相等,但线速度各不相同。设其中第 i 个质元的线速度为，其大小为： i v = r , i v i 则相应的动能为： = = ik E 2 2 1 iiv m 2 )( 2 1 ii rm 22 2 1 iir m 整个刚体的动能是所有各质元的动能之和， 即 = （2 k E n n iir m 1 22) ( 2 1 14 a） 将式（29a）代入上式中可得： 所以刚体转动动能的表达式为 = (214b) k E 2 2 1 I 三、刚体转动的动能定理三、刚体转动的动能定理 力矩对刚体做功是力矩的空间积累过程,将转动定律对角位移 积分得：d 2 1 2 1 dIdM 上式左边为力矩做的功,右边为 = dId dt d Id dt d I 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 II 即: (2-15) 12 2 1 kkk EEEMdA 上式表明:刚体绕定轴转动合外力矩对刚体所做的功时刚体绕定轴转动合外力矩对刚体所做的功时, ,等于刚体等于刚体 转动动能的增量转动动能的增量.这一规律称为刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理。 例例 2 24 4 如图 2-7 所示,半径为 R,质量为 m 的均匀的薄圆盘,盘 1 边绕有足够长的轻的细绳,下端挂着一个质量为 m 的重物.开始系统 2 12 / 19 下载文档可编辑 静止,释放后重物向下移动 h 距离,设圆盘轴上摩擦力矩为 M ,求物 f 快下滑到 h 距离时的速度 .v 解: 合外力矩对 m 做的功为 A , 11 外力对 m 做的功为 A , 22 m 下移 h 时,轮转过位移为, 2 R h 设绳中张力为 T,作 m 和 m 的受力图， 12 运动方程 (a)IMTR f (b) amTgm 22 又因为 )( 1f MTRAhTgmA)( 22 用动能定理 hTgm R h MTRAAA f )()( 221 22 2 2 1 2 1 IvmEk （c） 22 22 2 1 2 1 )()(IvmhTgm R h MTR f (其中 ) (d)、 2 1 2 1 RmI R v2 解(a)(b)得 2 21 2 ) 2 1 (Rmm MgRm f (e) Rmm MgRmm T f )2( )2( 21 12 将(d)(e)代入(c)得 21 2 2 2 1 )(2 mm R h Mghm v f 图 27 例 24 图 13 / 19 下载文档可编辑 21 2 2 1 )(2 mm R h Mghm v f 若,则 0 1 m0 f Mghv2 2-42-4 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 一一 、角动量、角动量 定义：转动惯量转动惯量 I I 和角速度和角速度 的乘积称为刚体对定轴的角动量的乘积称为刚体对定轴的角动量, 又称动量矩动量矩。用符号 L L 表示: ( 2-16 )IL 角动量是描述物体转动状态的物理量. 在 SI 中,角动量的单位是千克平方米每秒,符号为 . 12 smkg 二、二、 角动量定理角动量定理 把转动定律改写为 : IM dt d IM 刚体对固定轴的转动惯量 I 是常量,则上式又可以写成: ( dt dL M 2-17 ) 上式表明,刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时, ,作用于刚体上的合外力矩等于刚作用于刚体上的合外力矩等于刚 体对该定轴的角动量对时间的变化率体对该定轴的角动量对时间的变化率. .这是转动定律的角动量表示式. 将式(2-17)变换成 dLMdt 如果在 t 到 t 时间内,力矩持续的作用在转动刚体上,使刚体的角 12 M 动量从 L 变为 L ,则得 : 12 14 / 19 下载文档可编辑 ( 2-18a) 2 1 12 t t LLMdt 或: ( 2-18b ) 12 2 1 IIMdt t t 在上式中, 称为力矩 在 t 到 t 内的冲量矩冲量矩。式(2-18)表 2 1 t t MdtM 12 明,刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时, ,在给定的时间内在给定的时间内, ,作用于刚体的合外力矩的冲作用于刚体的合外力矩的冲 量矩量矩, ,等于刚体对该定轴的角动量的增量等于刚体对该定轴的角动量的增量. .这一规律称为刚体定轴转刚体定轴转 动的角动量定理动的角动量定理. 三、三、 角动量守恒定律角动量守恒定律 公式(2-18)中,如果物体所受合外力矩，则0M L = L (2-19a) 12 即： （2-19b） 2211 II 上式表明,当作用于物体的合外力矩等于零时当作用于物体的合外力矩等于零时, ,物体的角动量保持不物体的角动量保持不 变变.这一规律称为角动量守恒定律角动量守恒定律. 由 2-19 式表明:当定轴转动刚体的转动惯量是常数，即 I 不变时， 若=0，则 保持不变 = ；当定轴转动刚体的转动惯量不M 12 是常数，即 I 变化时, 若=O，则 发生变化 。因此可M 12 以用减小(或增加)物体转动惯量的手段来加快(或减慢)物体的转动 速度.此类方法广泛应用于各种跳、翻、转的体育动作和舞蹈表演中.例 如跳水运动员在空中翻筋斗时,跳水员先将两臂伸直,并一某一角速 度离开跳板,跳在空中时,将臂和腿尽量卷缩起来,以减小转动惯量因 而角速度增大,在空中快速翻转,当快接近水面时,再伸直臂和腿以增 大转动惯量,减小角速度以便竖站的进入水中,减少激起的水花. 15 / 19 下载文档可编辑 角动量守恒定律是自然界的基本定律之一. 例例 2-52-5 质量为,半径为的均匀实心圆柱体，以角速度 绕其MR 0 几何轴线转动。质量为，初速度为的小质点与该圆柱体相碰并m 0 v 粘在圆柱体的边缘上，如图 28 所示，求碰撞后该系统的角速度。 解：将圆柱体与小质点去做研究系统，外力 只有重力及支持力，但重力及支持力对转轴 均无力矩，所以该系统的合外力矩等于零， 因此，角动量守恒。设逆时针转动为正方向， 则碰撞前该系统绕 O 轴转动的角动量为 RmvMRL