湖南省师范大学附属中学2019届高三数学下学期模拟试题（三）理（含解析）

湖南省师范大学附属中学2019届高三数学下学期模拟试题（三）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求集合b,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得，所以.故选.【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）a. 1b. c. d. 5【答案】a【解析】【分析】先利用复数的除法运算求解z,再求模长即可【详解】由题可得,则z=，故选.【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题3.，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为，所以，所以.故选.【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题4.如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海.其中正确结论的个数是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】根据图表逐项判定即可【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论都正确，结论错误.故选.【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题5.斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用数形结合，根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，结合图形分析可知，若小于或等于2，则直线与双曲线的一支相交或没有交点，不合题意；所以必大于2，即，解得双曲线的离心率，故选d【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围.6.已知实数，满足，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】画出不等式组所表示的区域，利用z的几何意义求解即可【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线，平移可知过c时z最小，过b时z最小，联立得c，同理b(2,-1)即的取值范围是.故选.【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确计算是关键，注意边界的虚实，是基础题易错题7.函数的大致图象是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】函数 ，可得 ， 是奇函数，其图象关于原点对称，排除c，d；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除b，故选a.点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项8.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）a. 72种b. 144种c. 288种d. 360种【答案】b【解析】【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题9.在中，设点、满足，若，则（ ）a. b. 2c. d. 3【答案】d【解析】【分析】将表示为利用数量积计算求解即可【详解】因为，则，所以.由已知，则.选.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题10.若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ）a. 0.18b. 0.32c. 0.36d. 0.64【答案】c【解析】【分析】利用面积型几何概型求解即可【详解】设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.选.【点睛】本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是中档题11.设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）a. 290b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可【详解】由得，当时，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列前10项的和.故选.【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题12.长方体中， ，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为（ ）a. 2b. c. 1d. 【答案】c【解析】【分析】先求关于的对称点，再求距离即可【详解】将长方体中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，则是关于的对称点，如图所示，过作，垂足为，连接，依题意，所以.故选.【点睛】本题考查空间几何体的性质，平面上两点之间的距离，空间立体平面化的思想，是基础题二、填空题（将答案填在答题纸上）。13.等比数列的前项和为， ，若，则_【答案】【解析】【分析】由等比数列的求和公式及得，再利用通项公式求即可【详解】由题知公比，所以，解得，所以.故答案为【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题14.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】将三视图还原利用体积公式求解即可【详解】由三视图还原为如图几何体：一个圆柱和一个圆锥可得，.故答案为【点睛】本题考查三视图，考查圆柱和圆锥的体积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题15.已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点m，延长，,与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义得，由，得，利用斜率得a的方程求解即可【详解】依题意得焦点坐标为，过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义知，因为，所以，又，所以，解得.故答案为【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题16.已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，因为表示直线的斜率，当时，设切点坐标为，所以切线方程为，而切线过原点，所以，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分別为，若，.（1）求；（2）已知点在边上，且平分，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）先求，结合正弦定理求解a即可；（2）先求，再利用余弦定理得c，进而得，再利用求解的面积即可【详解】（1）由，得，所以，由正弦定理，可得.（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）.，因为，所以.【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题18.在四棱锥中，（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】(i)结合平面与平面平行判定,得到平面bem平行平面pad,结合平面与平面性质,证明结论.(ii)建立空间坐标系,分别计算平面pcd和平面pdb的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】()取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.，.又平面，平面，平面.为中点，为的中点，.又平面，平面，平面.，平面平面.平面，平面. ()连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.平面平面，平面，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，.令，得，.设二面角的大小为，则. 【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.19.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) 【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意得，计算，由，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.所以补全的列联表如下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，.所以，.因为，则，所以的数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题20.已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1) 由椭圆过点，得，由抛物线的焦点为，得，利用即可求解a则方程可求；（2）假设在轴上存在定点，当直线的斜率不存在时，由，解得或；当直线的斜率为0时，由，解得或，可得，得点的坐标为.再证明当时恒成立. 设直线的斜率存在且不为0时，其方程为，与椭圆联立消去y得韦达定理,向量坐标化得整理代入韦达定理即可【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又抛物线的焦点为，所以.所以，解得（舍去）或.所以椭圆的方程为.（2）假设在轴上存在定点，使得.当直线的斜率不存在时，则，由，解得或；当直线的斜率为0时，则，由，解得或.由可得，即点的坐标为.下面证明当时，恒成立.当直线的斜率不存在或斜率为0时，由知结论成立.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，.直线与椭圆联立得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.，所以恒成立综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，向量运算，利用特殊位置得定点再证明一般情况成立是解决定点问题的基本方法，准确计算是关键，是中档题21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，当时，对任意，存在，使，证明：.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）求导，讨论与的大小关系得单调区间；(2)当时，由（1）得在上的最小值为，由题 转化为 ，得，分离m得，构造函数求其最大值即可证明【详解】（1）函数的定义域为，又，由，得或.当即时，由得，由得或；当即时，当时都有；当时，单调减区间，单调增区间是，；当时，单调增区间是，没有单调减区间；（2）当时，由（1）知在单调递减，在单调递增.从而在上的最小值为.对任意，存在，使，即存在，使值不超过在区间上的最小值.由得，.令，则当时，.，当时；当时，.故在上单调递减，从而,从而实数得证【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐