复变函数总结

第1章 复数与复变函数1、 复数几种表示（1） 代数表示 （2） 几何表示：用复平面上点表示 （复数、点、向量视为同一概念）（3） 三角式：（4） 指数式 ： 辐角 2、 乘幂与方根（1）乘幂： ，（2）方根： 第2章 解析函数1、 连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导注：（1）点解析点可导， 点可导推不出点解析（2）区域内解析与可导等价2、 定理1 在可导在可微，满足C-R方程定理2 在区域D内解析（可导） 在区域D内可微，满足C-R方程讨论1 在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程 在区域D内解析（可导）3、 解析函数和调和函数的关系1、 定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。 定义2 设是区域D内调和函数，且满足C-R方程，则称是的共轭调和函数。2、 定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。 定理2 函数在D内解析虚部是实部的共轭调和函数。3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部） 理论依据： （1）虚部、实部是调和函数。 （2）实部与虚部满足C-R方程。 求解方法：（例如已知） （1）偏积分法：先求，再求，得出 （2）利用曲线积分：求，再 （3）直接凑全微分：求，再4、 初等函数1、 指数函数性质：（1）是单值函数， （2）除无穷远点外处处有定义 （3） （4）处处解析， （5） （6）是周期函数，周期是2、 对数函数 （多值函数） 主值（枝） （单值函数）性质：（1）定义域是， （2）多值函数 （3）除去原点和负实轴的平面内连续 （4）除去原点和负实轴的平面内解析， （5） 3、幂函数是复常数） （1）为正整数，函数单值、处处解析， （2）为负整数，函数单值、除去及其负实轴处处解析， 4、三角函数 欧拉公式 或 定义： 性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样 各种三角公式、求导公式照搬 注：的有界性 保护成立。第3章 复变函数的积分1、 复积分 （c的正向为逆时针方向）计算方法：（1）第二类曲线积分计算（2）化为普通定积分 重要结果： （n为任意整数） 二、柯西积分定理定理1（柯西积分定理） 设在单连通区域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，则 。注：条件变为在单连通区域D内解析，在D的边界C上连续，结论成立，即 。定理2 设在单连通区域D内解析，则积分与路径无关。记积分为 ，或原函数定义结论：是的原函数。 （条件：是解析函数） 定理3 （闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域） 是两条简单闭曲线，在内部，在所围区域D内解析，在上连续，则 注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。3、 柯西积分公式定理1 （柯西积分公式）在简单闭曲线C上连续，C的内部解析（即单连通区域D内解析），是C的内部一点，则 注：（1）D为多连通区域时，公式仍 成立。 （2）提供了计算积分的一种方法。推论1 （平均值公式）设在内解析，在上连续，则 定理2 （最大模原理）设在区域D内解析，又不是常数，则在D内没有最大值。推论1 区域D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定理2的逆否命题） 4、 解析函数的高阶导数定理1 （解析函数的高阶导数）设在简单闭曲线C所围的单连通区域D内解析，在C上连续，则的各阶导数均在D内解析，且对D内有 ，或注：由柯西积分公式求导即得。第4章 解析函数的级数表示1、 数项级数，其中定理 收敛的必要条件是定理 收敛 与 均收敛定理 收敛 收敛，称为绝对收敛 发散，收敛，称为条件收敛2、 幂级数 收敛半径 则收敛圆3、 函数展开成泰勒级数（幂级数）公式：1、， 2、， 3、， ， 4、对数函数，反三角函数求导数4、 洛朗级数 （函数在环域内展开） 第五章 留数1、 孤立奇点（函数在不解析，在的去心邻域内解析）分类：1、可去奇点（洛朗级数中没有负幂项） 判定（1）洛朗级数，（2）存在2、 极点（洛朗级数中有有限负幂项） 判定（1）洛朗级数， （2）极点阶数判定： （1）洛朗级数 （2），在解析，则是的m阶极点。 （3）零点与极点关系（4） ，是分子的n阶零点，是分母的m阶零点， mn时，是函数的m-n阶极点，否则，是可去奇点。3、 本性奇点（洛朗级数中有无限负幂项） 判定 （1）洛朗级数， （2）不存在，也不是无穷。2、 m阶零点法1 法2 函数在展开成幂级数3、 留数 ，是洛朗级数中系数。留数计算：可去奇点处留数为零本性奇点：通过洛朗级数求解m阶极点：一阶极点 或 ，是分母1阶零点，不是分子零点注