矩阵论 第四章

.,同济大学数学系2009-3-22,工科研究生数学-矩阵论第4章内积空间,吴群,同济大学数学系,wuqun,.,4.1实内积空间,定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，,2,若a,bV,存在唯一的rR与之对应，,记作(a,b)=r,并且满足,(1)(a,b)=(b,a),(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0a=0,则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对称性,非负性,.,3,定义内积,例.线性空间,称为内积空间的标准内积。,.,4,定义内积,A为n阶实正定矩阵，,例.线性空间,.,5,定义内积,例.线性空间Ca,b，f,gCa,b,.,6,由定义知,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(6)(a,kb)=k(a,b),.,向量长度,Cauchy-Schwarz不等式,定义.设V为实内积空间，称为向量a的长度，,记作|a|。,定理.设V是实内积空间，a,bV,kR，则,等号成立当且仅当a,b线性相关；,Cauchy-Schwarz不等式,三角不等式,正定性,齐次性,.,8,例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明,.,向量的夹角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,.,向量的正交,定义.设V是实内积空间，a,bV,若(a,b)=0,则称a与b正交，记作ab。,a与b正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,.,11,向量a与b在该基下的坐标为,.,12,.,度量矩阵,矩阵A称为基的度量矩阵。,即A为实对称矩阵。,即A为实正定矩阵。,.,定理：设内积空间V的两个基是：,它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，,即存在可逆矩阵P，使得,其中可逆矩阵P是由前组基到后组基的过渡矩阵。,.,4.2标准正交基,若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。,定理：正交向量组必是线性无关的。,.,16,且其中每个向量的长度都是1，,注意：(1)标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即,(2)向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影，即,.,Gram-Schmidt正交化过程,Gram-Schmidt正交化过程：,.,Gram-Schmidt正交化过程图解,.,19,令,.,记,.,或,注意到K是可逆矩阵，因此,.,由归纳法假设可知,.,矩阵A的QR分解,推论1：n维实内积空间V必存在标准正交基。,推论2：n维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成,V的一个正交基。,推论3:设A为可逆阵，则存在正交阵Q和可逆上三角阵R,使得A=QR，称为矩阵A的QR分解。,.,24,设A为n阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，,.,25,.,26,例:求矩阵A的QR分解，,.,4.3正交子空间,定义:设W,U是实内积空间V的子空间，,(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;,(2)若aW,bU,都有(a,b)=0,则称W与U正交，记作WU;,(3)若WU，并且W+U=V,则称U为W的正交补。,注意：若WU，则W与U的和必是直和。,.,正交补的存在唯一性,定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补,存在且唯一，记该正交补为，并且,.,向量的正投影,定义:设W是实内积空间V的子空间，,则称向量b为向量a在W上的正投影，,称向量长度|g|为向量a到W的距离。,.,垂线最短定理,定理:设W是实内积空间V的子空间，aV,b为a在W,上的正投影，则dW,有,并且等号成立当且仅当b=d。,.,4.4正交变换,定义:设T是实内积空间V的线性变换，若aV有,则称T为V的正交变换。,.,正交变换的特征刻画,定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,bV，,则下列命题等价，,.,33,推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；,(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。,.,Householder变换,构造的正交变换,讨论正交变换H的几何意义。,.,故H(a)是a关于子空间的反射，,矩阵H称为Householder矩阵，,变换H称为Householder变换，,变换H也称初等反射变换。,.,36,求一个初等反射变换H，使H(a)=b。,只需求一个w使得b是a关于子空间的反射，,于是w与a-b平行，故可取,.,4.5复内积空间,定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，,37,若a,bV,存在唯一的cC与之对应，,记作(a,b)=c,并且满足,(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g),(3)(ka,b)=k(a,b),(4)(a,a)0,(a,a)=0a=0,则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。,复内积空间也称酉空间。,对称性,非负性,.,38,定义内积,例.线性空间,称为复内积空间的标准内积。,.,39,在复内积空间中还有,(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g),(8)Cauchy-Schwaz不等式,且(a,b)=0a与b正交,(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,.,40,向量a与b在该基下的坐标为,.,41,.,度量矩阵,矩阵A称为基的度量矩阵。,，即A为复正定矩阵。,，则称A为Hermite矩阵。,，即A为Hermite矩阵。,称A为复正定矩阵。,.,设T是复内积空间V的线性变换，若aV有,则称T为V的酉变换。,.,定理:设T是复内积空间V的线性变换，a,bV，,则下列命题等价，,.,4.6正规矩阵,例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。,定义2：设A,B是复方