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唐山市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学 2016.3.3 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的 四个选项中, 有且只有一项符合题目要求 (1)设A,B是全集I=1,2,3,4的子集,A=l,2,则满足AB的B的 个数是 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)复数的虚部为 (A) (B) (C)一 (D)一 (3)已知向量a,b满足a(a-b)=2,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 (A) (B) (C) (D) (4) (x-2y)6的展开式中,x4y2的系数为 (A) 15 (B) -15 (C) 60 (D) -60 (5) A(,1)为抛物线x2=2py(p0)上一点,则A到其焦点F的距离为 (A) (B) + (C) 2 (D) +1 (6)执行右侧的程序框图,输出S的值为 (A) ln4 (B) ln5 (C) ln 5-ln4 (D) ln 4-ln 3 (7)若x,y满足不等式组则的最大值是 (A) (B) 1 (C)2 (D)3 (8)Sn为等比数列an的前n项和,满足al=l,Sn+2=4Sn+3,则an的公比 为 (A) -3 (B)2 (C)2或-3 (D)2或-2 (9)己知A(x1,0),B(x2,1)在函数f(x)=2sin(x+) (0)的图象上,|x1-x2|的 最 小值,则= (A) (B) (C)l (D) (10)某几何体的三视图如右图所示,则其体积为 (A) (B) 8 (C) (D) 9 (11) 为双曲线=1(a0,b0)的右焦点,若上存在一点P使得OPF为 等边三角形(O为坐标原点),则r的离心率e的值为 (A)2 (B) (C) . (D) +1 (12)数列an的通项公式为an=,关于an有如下命题: an为先减后增数列; an为递减数列: 其中正确命题的序号为 (A) (B) (C) (D) 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题, 每个试题考 生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题,考生根据要求作答 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题 中横线上 (13)在等差数列an中,a4=-2,且al+a2+.+a10=65,则公差d的值是 。 (14) 1000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530, 502),则成绩在630 分以上的考 生人数约为_(注:正态总体 在区间 内取值的概率分别为0.683,0.954,0.997) (15)已知f(x)为奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于直线y=x+l对称,若 g(1)=4, 则f(一3)=_ (16)一个几何体由八个面围成,每个面都是正三角形,有四个顶点在同 一平面内且为正 方形,从该几何体的12条棱所在直线中任取2条,所成角为60的直线 共有 对 三、解答题:本大题共70分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23), (24)题为 选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分12分) 在右图所示的四边形ABCD中,BAD=90, BCD=120,BAC=60,AC=2, 记ABC=。 (I)求用含的代数式表示DC; (II)求BCD面积S的最小值 (18)(本小题满分12分) 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2, BAD=号,M为BB1的中点,Ol为上底面对角线的交 点 (I)求证:O1M平面ACM; ( II)求AD1与平面ADM所成角的正弦值 (19)(本小题满分12分) 某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一 种, 方案一:每满200元减50元: 方案二:每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、1 个白球的甲 箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱 中各随机摸出 1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区 别) (I)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价 优惠的概率; (II)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更 划算? (20)(本小题满分1 2分) 在ABC中,A(-l,0),B(1,0),若ABC的重心G和垂心H满足GH 平行于x 轴( G,H不重合) (I)求动点C的轨迹的方程; (II)己知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相 切,求 此时直线AC的方程 (21)(本小题满分12分) 已知函数f(x)=2x-ex+1 (I)求f(x)的最大值; ( II)己知x(0,1),af(x)5; (II)若(x)a|x+3|,求a的最小值 唐山市20152016学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题: A卷:CADCB ACBDA DC B卷:BADCA ACBDB DC 二、填空题: (13)3 (14)23 (15)2 (16)48 三、解答题: (17)解: ()在ADC中,ADC36090120150, 由正弦定理可得 ,即 , 于是:DC 5分 ()在ABC中,由正弦定理得 ,即BC , 由()知:DC , 那么S , 故75时,S取得最小值63 12分 (18)解: )连接AO1,BD 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1平面ABCD,AC平 面ABCD,所以BB1AC, 四边形ABCD是边长为2的菱形, A B C D M C1 B1 D1 A1 O1 ACBD, 又 BDBB1B, AC平面DBB1D1, 又 O1M平面DBB1D1, ACO1M 直四棱柱所有棱长均为2, BAD,M为BB1的中点, BD2,AC2,B1MBM1, O1M2O1B12B1M22,AM2AB2BM 25,O1A2O1A12 A1A27, O1M2AM2O1A2, O1MAM 又 ACAMA, O1M平面ACM 6分 ()设BD交AC于点O,连接OO1, 以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建 立空间直角坐标系Oxyz,则A(,0,0),D(0,1,0),D1(0, 1,2),M(0,1,1), (,1,2),(,1,0),(0,2,1), A B C D M C1 B1 D1 A1 O O1 x y z 设平面ADM的一个法向量n(x,y,z), 则即 令x1,得n(1,2) 设AD1与平面ADM所成角为, 则sin|cos,n|, 即AD1与平面ADM所成角的正弦值为 12分 (19)解: ()记顾客获得半价优惠为事件A,则P(A), 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率 P1P()P()1(1)2 5分 ()若选择方案一,则付款金额为32050270元 若选择方案二,记付款金额为X元,则X可取160,224,256, 320 P(X160), P(X224), P(X256), P(X320), 则E(X)160224256320240 270240, 第二种方案比较划算 12分 (20)解: ()由题意可设C (x,y),则G(,),H(x,) (x1,),(x1,y), 因为H为垂心,所以x210,整理可得x21, 即动点C的轨迹的方程为x21(xy0) 5分 ()显然直线AC的斜率存在,设AC方程为yk(x 1),C(x0,y0) 将yk(x1)代入x21得(3k2)x22k2xk230, 解得x0,y0,则H(,) 原点O到直线AC的距离d, 依题意可得, 即7k42k290,解得k21,即k1或1, 故所求直线AC的方程为yx1或yx1 12分 (21)解: ()f(x)2ex, xln2时,f(x)0;xln2时,f(x)0, 所以f(x)在(,ln2)上单调递增,在(ln2,)上单调递减, 则当xln2时,f(x)取得最大值2ln21 4分 ()x(0,1)时,f(x)在(0,ln2)上单调递增,在(ln2,1)上单调 递减, 且f(0)0,f(1)3e0,所以此时f(x)0, 因为tanx0,所以当a0时,af(x)0tanx 6分 当a0时,令g(x)tanxaf(x),则g(x)a(2ex)a(ex 2), 故g(x)在(0,1)上单调递增且g(0)1a ()当0a1时,g(0)0,g(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递 增, 又g(0)0,所以此时g(x)0,即af(x)tanx成立; ()当a1时,g(0)0,g(1)0,所以存在x0(0,1)使得g(x0) 0, 即x(0,x0)时,g(x)0,g(x)单调递减,又g(0)0,所以此时 g(x)0, 与af(x)tanx矛盾; 综上,a的取值范围是a1 12分 解: ()因为BFCD,所以EDCBFD, 又EBCEDC,所以EBCBFD, 又BCEBDF,所以BCEFDB. 4分 ()因为EBFCBD,所以EBCFBD, 由()得EBCBFD,所以FBDBFD, 又因为BE为圆O的直径, 所以FDB为等腰直角三角形,BDBF, 因为AB与圆O相切于点B,所以EBAB,即ADEDBD2 2 10分 )解: ()半圆C的直角坐标方程为x2(y1)21(y1), 它的参数方程是是参数且(0,) 4分 ()设直线l的倾斜角为, 则直线l的方程为yxtan2,D(cos2,1sin2),2(0, ) |AB|,点D到直线l的距离为 |sincos2cossin23cos|

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