阿波罗尼斯圆与高考试题

上海中学数学 年 第 一 期 阿波罗尼斯圆与高考试题 江苏省兴化中学徐永忠 在年的高考数学江苏卷中 ,第 题解答由题意 ,点, 在圆上 ,所以圆 与圆 题的第三题应该是 一个 中低档题,涉及参数方程、 有公共点 ,则 , 阿波罗尼斯圆等数学知识 ,需要运用函数与方程 、数 即,解得 形结合 、等价转化等数学思想方法本题满分 分 , 但是平均分只有 分多不少考生在第二问中由于 能看清的本质 缺乏灵活变通本素 质导 所以圆心的横坐标的取值范围为 , 致失分 解法:可设,则圆 一 、高考试题及解法 江苏髙考 本小题满分分 ) 由 对 可得: : ,即 如图在平面直角坐标系 少 。 ,设为圆 中 ,点, 直线 由题可知 ,圆与圆 有公 共点 , 由点 , 一 到直线 设圆的半径为 ,圆心在 ; 的距离 丄 上 芯 若圆心 也在直线 ;工 知 ,直线 与圆相交 ,所以 上 ,过点 作圆的切线 ,求 如图,当圆心在线段 上时 ,符 切线的方程; 图 合题意的点对存在 , 其中 ,、 为 若圆 上存在点 使 与圆相切的圆的 圆心 显然 图 ,求圆心的横坐标 的取值范围 为(,卩与关于直线 解略 对称易得所以 解法 据题意 ,可设 ,由题意可知, 使成立 ,所以(即的取值范围为 , 点评 :方法 是 根据题意应用圆 十 代入 卢,再进行 化 简整理,如果不 能注意运用 所以( 一 三角 函数的有界性,解决起来 是 相当麻烦的;方法 即 , 则是注意运用阿波罗尼斯圆与几何性质 加以解 决 ,就显得简洁明快 (相对来说方法还是绕了 一 解得 一 , 下 ) 进而解得所求圆心的横坐标“的取值范围 力 追根源及拓 展 为 。 苏教 版必修教 材习题 第 题)已 解法因为圆心在直线上 知点 与两个 定点 , 的距离之 所以圆的方程为 设点 , 代人 ,所以 比为 ,那么点对的坐标应满足什么关系 ? 圆出满 足条件的点所形成的曲线 得 ,所以点 在以胸 , 解: 由题意得 乂广士 化简整理得 为圆七、,半径为的圆上 上海中学 数学年第 一 期 ,所以满足条件的点所形成的曲 线是以(,为圆心,为半径的圆 苏教 版选修 教材 求曲线的方 罾 所以是线段的 程例 求平面内到两个定点 、的距离之比等于 中点 ,从而成立, 的动点的轨迹方程 满 足条件 解:以、所在的直线为轴 ,线段 的垂 另 一方 面,点满足式 ,那么 点必在以 直平分线为轴 ,建立直角坐标系 为直径的圆上事实上 ,在为 或时,这是 令 ,则 两点的坐标分别为( , 显然的在异于、时 ,过 作 的平行线交 于点如图 ,则 设 点坐标为 ( , ,依题意 ,点 满足 所以,即 是的平分线同理可证是 由, 的外角平分线因此 , 在以为直 符 , 径的 圆上 三 、相关试题及解析 化简,得 所以,动 点的轨迹方程为 柳波罗尼斯有关的在近几年屡见不 鲜 , 看下面几道试题 : 般结论 :平面内到两个定 点 , , 例江苏 若 , , , ( 的距离之比为正数 关 的点的 则的最大值是 轴 、 允且!士生許的 解析:本题可以用边长为自变量 ,也可以用角 轨迹是以 一广 )为圆仏 为半径的 为自变量 ,翻用二次函数 或者三角函数的有界性 圆 求解,运算量比较大如果应用 “ 阿波罗尼斯圆 ” ,将 即平面内到两个定点 的距离之比 三角问贿析化,解法如下:设, 的点關轨迹是个圆 ,这个圆 动点吣 ),由,可彳 就是著名的 “ 阿波罗尼斯 ( 圆 ” ,化简得 父 这个结论的解析法证明可以仿照课本 例题证 于是点 的轨迹 是以 ,为圆心 ,及为 半 明,这里再介绍 一 下平面几何中阿波罗 尼斯圆中几 径的圆,所以点 到 的距离的最大值为半径 个要素的关系 奶故 纖的最大值是乘 如图,尹 时 ,设 点在线段内部 , 点 在线段 的延长线上 时 在的右边 高考命题有 一个 指导思想,就是多考 一点 想,少 时 , 在的右 边 ),满足 尹互 “ 阿波罗尼斯圆 ” 去解决相比运算量要大得多 、分别称为内分点 、外分点以线段 为 例四川高考已知两定点 直径 作圆 ,这个圆 即为所求的轨迹八( 一 ,识, 如果动 点 尸 满足 条件丨 丨 则点的轨迹所 包围的图形的面积等于 解析:本题可以用类似的力 法求得点的轨迹 方程为 ,所以点 的轨迹所包围的 图形为半径是的圆及圆的内部,它的面积为知 , 图 图 故选 方面 ,对于圆上任意 一点 式成立事实 例四川高考已知抛物线 上 ,在 为或时 ,这是显然的在异于、 的焦点为 准线与 轴的交点 为点在 时 ,过 作 的平行 线 分别 交、于、上且气尽 ,则 的面积为 () 上海中学数学年第 期 ; 该直线与工轴垂直且交轴于点 ( , 解析 :如图 ,抛物线 的焦点为,准线 当 又关 时 , 方程化为 (工 一 父 为 ,卜, 设八 。,;。) ,过八点向准 它表示圆 ,该圆圆心的坐标为(, 线 作垂线则。 ) 图 半径为 本题将阿波罗尼斯圆中两个定点其中 一个 定点 由得乂 工。 即 膨胀为圆 ,设计直线与圆相切的问题 了工。,解得八(,土 例江苏高考 如图 ,圆 与圆 的面积为 的半径都是 ,过动 点 分别作圆 、 圆的切线、 分别为 切点 ) , 使得 ,故选 此题重点考查双曲細第二定义 ,双讓中肖 焦点,准线有关三角形问题;如果注意到 ,联想到 “ 阿波罗尼斯圆 ” 则有以下解法: 抛物线的焦点为,准线为 ”,设八, 一 由 , 图 化简整理得 ,与 父 工联 解析:以的中点为原点 , 所在的 立,解得工, ;士 直线为轴 ,建立平面直角坐标系, 则 ,。 ) , 所以咖 ,由已知 ,得 因为 两圆的半径均为所以 故选 例 全国髙 考 )已 设广,则 作細赚为圆 , 轨迹方程,说明它表示什么曲 设计直线与圆相切的问题 线 四 、棋拟试题供练习 解析如图,设切圆 线丄 在 ,式中常数 , 圆的半径 ,所以 图,已知平面丄平面 是平面 丨 与平面 的交 线上的两个定点,匚 且 设点的坐标为( , 则 丄 ,:五丄 八,:, 在平面上 有 一 个动点 ,使得 求的 整理得 工; 久义 面积的最大值 经检 验 ,坐标适合这个方程的点都属于集合 故这个方程为所求的轨迹方程 当 时,方程化为,它 表示 一条 直线 , 图 上海中学数学年第 一 期? 当代中国数学教育流派刍议 上海教育出版社 刘祖希 为了梳理新中国成立 年来 ,中国数学教育研生在世纪 、年代 ,都受过系统的大学教育, 究的基本脉络和强烈的人文色彩 ,我们在年启 都有深厚的历史人文功底 ,都在 世纪年代以 动了 “ 当代中国数学教育流派 ” 课题研究这项研究专业数学研究者的身份介人并逐渐领导数学 教育研 在国内 尚属首次 ,对总结当代中国数学 教育研究的 究 ,都 是百科全书式的数学教育人物 其中 : 成果、挖掘其中的 文化性、调动 青年 一 代数学教育研 徐利治先生是我国数学方法论研究领域的开 拓 究者的积极性 ,都大有裨益 者 ,是中 国特色的数学思想方法教学方法产生的思 经过多年的发展,当代中国的数学教育终于想源泉他提出的关系 一映 射 一反 演)方法、 走出了自己的道路初步形成了自己的理论体系,当 数学抽 象方式和数学抽象度分 析方法 ,以及数 学美 代中国数学 教育的全景图正向世界徐徐展开笔者 学方法 ,都是 对数学方法论研究的巨大贡献 俨然看见了其中几位振臂高呼的当代中国数学教育 张景中先生是 “ 教育数学 ” 的创始人 ,开创性地 学术巨擘 ,以及若干闪耀着/烈人文色彩与不同风 数学研究、数学教育、数学普及三者巧妙融合在 一 骨的当代中国数学教育流派 起他想的是教育,做的是数学,为教育而研究 数学, 通过改 造数学而推进教育 ,致力于 “ 把数学变得容易 一 、当代中国数学教育 的二座学 术萵峰: , 张奠宙先生是杰出的数学 教育研究组织者、活 徐利治 (、张景中(、张奠宙 动家,他善于调动国际 和国 内 、数 学界 和教育界、民 三位先生是当代中国数学教育的三位学术 间和官方、学术和行政、大学和中小学 的力量,开展 巨擘 、三座学术高峰 ,可以并称 “ 一徐二张 ” 无论是 中 国数学教育的理论与 实践、传统与现实、国际与本 看数学教育研究的理论成果 ,还是看数 学教育研究 土研究 ,明确提出并系统总结了 中国特色数学 教育 的学术影响力,他们 都是当代中国数学教育当之无 理论体系 愧的领军人物 表反映了 “ 一徐二张” 三位先生关于数学教育 “ 一徐二张” 三位先生有许多共同点 ,他们都出研究的 一些基 本情况: 已知定点 ,点 是圆 工重要方向由于 高考中对运算能力要求比较高,因此 上任意 一点 请问是否存在不同于的定点 都 寻找简 洁、合理的运算途径显得尤为重要,这就要求 有黑 如 若存在,试求出所有 满足条件的点 充 分賴数形结合 ,賴图形固 有的性质进行求解 的坐标 ,若不存在,请说明理由 阿波罗尼斯圆是几何中的经典问题 ,有其丰 富的学术价值和教育价值教 师要有 意识地组 织学 生鮮开頭究性学习 ,使学生弄明自其巾的 在高中数学教学中 ,要十分重视教材上的例 试着改变 一 、两个要素 ,编拟出新问题(如例、例 习题因为教材是教师实施教学的 主要工具和材料 如果以源问题为起点,让学生直接参与经过演绎 教材中 的例习题都是经过专 家 们精心挑选的 ,具有 发展形成新试题的过程 ,则不仅符合以学生为主体 一定 的代表性和可迁移性教师不仅要认真教好教 的教学 原则,而且有