高等数学下册模拟试题及答案05,第七版,同济大学数学系

1 高等数学高等数学 2 2- -2 2模拟试题模拟试题 0505 （时间：120 分钟，满分：100 分） 一、 （3 30 0 分分）试解下列各题： 1、 （6 6 分分）判别级数 3 1 ( 1) 2 n n n n 的敛散性。若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 2、 （6 6 分分）求曲面 222 2312xyz在点(1, 2,1)处的切平面方程。 3、 （6 6 分分）求过平面50 xyz和40 xz的交线且与平面48120 xyz垂直的平面方 程。 4、 （6 6 分分）计算 2d d D xx y ，其中D由 22 2,yxyx所围成的区域。 5、 （6 6 分分）已知3(1, 1,1)a bab ，试求a 与b 的夹角。 二、 （1212 分分）设 2 x z ue y ，其中( , )zz x y是方程20 xyzxyz确定的隐函数，求du。 三、 （1010 分分）已知函数()() y uyf xexg xy，其中, f g具有二阶连续导数，求 2u x y 。 四、 （1 10 0 分分）试将函数 dcos1 () d x f x xx 展成x的幂级数。 五、 （1 10 0 分分）设 32 ( , , )f x y zxxyz （1）求( , , )f x y z在点 0(1,1,0) P处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：( , , )f x y z在哪些点的梯度垂直于x轴。 六、 （1010 分分）计算 222 Ix dydzy dzdxz dxdy ，其中是 222(0 )xyzza 的外侧。 七、 （1010 分分）计算曲线积分 22 2 1d1 d yy L xexx ey ，其中L为 2 2 24xy在第一象限沿逆 时针方向的半圆弧。 八、 （8 8 分分）将正数a分为正数, ,x y z之和,使得 mnp ux y z最大(其中, ,m n p为已知正数)。 2 高等数学高等数学 2 2- -2 2模拟试题模拟试题 0505 参考答案参考答案 一、 （30 分）试解下列各题： 1、 （6 分）判别级数 1=n 3 2 )1( n nn - 的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解：1 2 1 2 2 31 limlim 3 1 1 = n )(n+ = u u n n+ n n n+ n ，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛. 2、 （6 分）求曲面 222 2312xyz在点(1, 2,1)处的切平面方程。 解 设 222 ( , , )2312(1, 2,1)2,(1, 2,1)8,(1, 2,1)6 xyz F x y zxyzFFF 故曲面在点(1, 2,1)处的切平面的法向量为：(2, 8,6)n 所以切平面方程为：43120 xyz 3、 （6 分）求过平面50 xyz和40 xz的交线且与平面48120 xyz垂直的平面方程。 解：解：设过两平面交线的平面束方程为(5)(4)0 xyzxz， 即()5()40 xyz。由题意知 从而 1 208()0 3 ，故所求平面方程为452120 xyz 4、 （6 分）计算 2d d D xx y ，其中D由 22 2,yx yx所围成的区域。 解：由对称性， 1 22 d d2d d DD xx yxx y 2 2 121 224 00 8 24() 15 x x dxx dyxx dx 5、 （6 分）已知3(1, 1,1)a bab ，试求a 与b 的夹角。 解：由 3| cos( , )3| | sin( , )a baba bababa b ，故 3 tan( , )( , ) 36 a ba b 二、 （12 分）设 2 x z ue y ，其中( , )zz x y是由方程20 xyzxyz确定的隐函数，求du。 解 222 2 ()2 xxxx zzzz dudee dxe dye dz yyyy 由 (2)(1) 2()0 1 yz dxxz dy dxdydzyzdxxzdyxydzdz xy 故 222 2 (2)(1) ()2 1 xxxx zzzzyz dxxz dy dudee dxe dye yyyyxy 即 2 2(2)2(1) ()()() (1)1 xx zzyzzxz dudeezdxdy yyxyyxy 三、 （10 分）已知函数()() y uyf xexg xy，其中, f g具有二阶连续导数，求 2u x y 。 解 ()()() y u yf xeg xyxyg xy x 2 2 ()()2()() yyy u f xeye fxexg xyx yg xy x y 四、 （10 分）试将函数 cos () 1dx f x dxx 展成x的幂级数 解：解：设 cos1dx f x dxx ，由于 2 21 0 1 11 2! cos1 1 2! n n n n n n x n xx xxn x 因此， 21 1 cos1 1 2! n n n dxdx f x dxxdxn 22 1 21 1 2! nn n n x n 五、 （10 分）设 32 ( , , )f x y zxxyz （1）求( , , )f x y z在点 0(1,1,0) P处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：( , , )f x y z在哪些点的梯度垂直于x轴。 解 （1） 由 22 (1,1,0) (1,1,0)(3)2 x fxy (1,1,0) (1,1,0)( 2)2 y fxy (1,1,0) (1,1,0)( 1)1 z f 故( , , )f x y z在点 0(1,1,0) P处的梯度为： (1,1,0) |22fijk ， ( , , )f x y z在点 0(1,1,0) P处方向导数的最大值为： 22 22 (1,1,0) |2( 2)( 1)3f （2）由 22 (3)2fxy ixyjk，而fx轴，即(1,0,0)0f ，由此得： 3yx 3 所以平面3yx 上的点处的梯度垂直于x轴。 六、 （10 分）计算 222 Ix dydzy dzdxz dxdy ，其中是 222(0 )xyzza 的外侧。 解：解：作辅助曲面 1: z a 上侧，则由 Gauss 公式和三重积分对称性得： I 1 1 = 11 222222 2 ,0 2() xyzz axya xyz dxdydza dxdy 222 4 0 2 a xyz dzzdxdya 344 0 1 2 2 a z dzaa 七、 （10 分）计算曲线积分 222 11 yy L xedxx edy ，其中L为 2 2 24xy在第一象限沿逆时针方向的半圆弧 解：解： 2 1 y P xyxe， 22 1 y Q xyx e，由 2 2 y QP xe xy 可知该曲线积分与路径无关 因此我们可取直线0y 上从4x 到0 x 这一段直线段，得 0 222 4 11112 yy L xedxx edyx dx 八、 （8 分）将正数a分为正数, ,x y z之和,使得 mnp ux y z最大。(其中, ,m n p为已知正数) 解法一解法一 化为无条件极值求解,即求() mnp ux y axy的极值。 令 11 11 ()()0 ()()0 mnpmnp x mnpmnp y umxy axypx y axy unx yaxypx y axy 即 ()0 ()0 m axypx n axypy 解之得 ma x mnp ， na y mnp 再由 xyza 求得 pa z mnp 。 当0()xxa，或0()yya或0()zza时,u均为 0,不可能为最大,故将a分成的三个正数为 ma x mnp ， na y mnp ， pa z mnp 。 解法二解法二 利用拉格朗日乘数法求解.作函数( , , )() mnp F x y zx y zxyza 令 1 1 1 ( , , )0(1) ( , , )0(2) ( , , )0(3) mnp x mnp y mnp z F x y zmxy z F x y znx y z F x y zpx y z 及 0 xyza )4( 将(1)，(2)，(3)中之移至等式右端,记为),3(),2(),1 (然后由)2()1 (得 m xy n )2()3(得 p yy n 并将其代入(4),从而得到所求三个正数为 ma x mnp ， na y mnp ， pa z mnp 。 解法三解法三 因为0 mnp ux y z,故当u最大时lnlnlnlnumxnypz也最大。利用拉格朗日乘数法,作函数 ( , , )ln