高一数学复合函数讲解

1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=fg（x）叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。a是中间变量。2、复合函数单调性由引例 对任意a，都有意义（a0且a1）且。对任意，当a1时，单调递增，当0a1时，单调递减。当a1时，y=f（u）是上的递减函数 是单调递减函数类似地，当0a1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当XM时，uN。有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=fg（x）在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=fg（x）在M上也是增函数。注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数函数的增区间是（-，2，减区间是2，+）。x（-1，3）令x（-1，1上，u是递增的，x1，3）上，u是递减的。是增函数函数在（-1，1上单调递增，在（1，3）上单调递减。注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-，-3），减区间（1，+）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。2、已知求g（x）的单调区间。提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-，-1，0，1，单调递减区间分别为-1，0，1，+）。例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）（1）y=f（x）的表达式及定义域；（2）求y=f（x）的值域；（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。答案：（1）x（0，3）（2）（0，（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数当x时，；当x时，。 例3、确定函数的单调区间。提示，先求定义域：（-，0），（0，+），再由奇函数，先考虑（0，+）上单调性，并分情况讨论。函数的递增区间分别为（-，-1， 0，+）函数的递减区间分别为-1，0），（0，1。1、求下列函数的单调区间。（1）（2）（3）2、求函数的递减区间。3、求函数的递增区间。4、讨论下列函数的单调性。（1）（2）答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+）（3）递减区间（-，0递增区间2，+）2、，2 3、（-，-2）4、（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）a1时，在（-，1）上是减函数，在（3，+）上是增函数；用待定系数法求函数解析式 一、填空题：1、已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m 。2、抛物线过点(1，0)，与x轴两交点间距离3，则b ，c 。3、抛物线与x轴只有一个交点，则b 。4、抛物线的顶点是C(2，)，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程的两个根，则AB ，SABC 。5、如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，当线段AB最短时，线段OC的长是 。6、若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 。7、抛物线与x轴有 个交点。二、选择题 1、抛物线与y轴的交点坐标是( )(A)(0，5)； (B) (0，13)； (C) (0，4)； (D) (3，5)2、抛物线的顶点坐标为( )(A) (B) (C) (D) (1，0)3、若抛物线的顶点在y轴上，则m的值为( )(A)3 (B)3 (C)2 (D) 24、若抛物线的顶点在x轴上，则c的值为( )(A) ； (B) ； (C) ； (D) 5、函数图象可能为( )6、若(2，5)，(4，5)是抛物线上的两点，那么它的对称轴为直线( )(A) (B) (C) (D) 7、抛物线与x轴的交点个数是( )(A)0； (B)1； (C)2； (D)无数个。三、求符合下列条件的二次函数式图象：1、过点(0，1)，(1，1)，(1，1)； 2、对称轴是x2，经过(1，4)和(5，0)两点。3、抛物线与x轴的一个交点(6，0)，顶点是(4，8)4、当x3时，y有最大值为1，且抛物线过点(4，3)。5、抛物线以点(1，8)为顶点，且与y轴交点纵坐标为6。6