第五章 随机信号的功率谱估计（课堂PPT）

第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,1,随机信号不能直接进行傅立叶变换，但平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系；随机信号的功率谱与确定信号的频谱作用类似，是随机信号的频域特征分析；随机信号的功率谱估计在通信系统分析、噪声监测、信号检测、模式识别、机械故障诊断等领域应用广泛；依据有限的N个样本观测数据对平稳随机过程的功率谱密度进行估计。随机信号的谱估计分为：经典谱估计现代谱估计,关于信号的频域分析,2,经典谱估计,基本思想：以傅立叶变换为基础，附以平均、加窗、平滑等预处理或后处理；主要方法：周期图法（BT法）、间接周期图法；优点：简单易行、计算效率高；缺点：存在分辨率低、旁瓣效应、估计精度不高，短数据时更为突出；适用范围：长数据序列；相互关系：二者均等效为进行矩形加窗处理，均可通过加窗函数改善性能；二者均适合采用FFT算法；二者存在频率分辨率低的致命缺点，且窗函数改善无效。,3,确定信号的功率谱密度：,平稳离散随机信号x(n)的功率谱密度：,x(n)的自相关函数与功率谱密度存在傅立叶变换关系,4,如果随机信号x(n)是各态遍历的，集平均自相关函数可以由一个取样时间序列的时间平均自相关函数替代：,(有偏、渐进无偏),(无偏估计),实际中信号自相关函数需要有限样值估计：,称为取样自相关函数。,5,自相关法(B-T法）直接周期图法1958年，Blackman和Tukey提出。先估计信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度估计：,间接周期图(Periodogram)法:,取样自相关函数实际上是下x(n)与x(-n)的卷和,即,间接周期图法有两种理解：(1)对信号进行加窗处理得xN(n)，再进行离散傅立叶变换得X()，再求模的平方得功率谱密度；(2)对信号xN(n)进行周期延托，再计算功率谱密度。,6,直接相关法和间接周期图法得到的谱估计相同。,(有偏，渐进无偏),对x(n)加窗处理：,7,主要缺点：,相关图法主观认为未观测数据都等于0，造成频谱能量的泄漏；假设数据是以N为周期的周期性延拓，把不真实的信息加于时间序列之上，频率分辨率低。,常用改进方法：,改进数据加窗方法，降低谱的旁瓣泄露：将矩形窗改为其他窗函数，如：汉宁(Hanning)窗、汉明(Harmming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗(Bartlett)、凯塞窗(Kaiser)等。对B-T法的相关函数加窗：,8,将长度为N的序列分K段，每段长为M，分别对每段进行谱估计，再进行总平均，得平均周期图(如下图)。如各段数据相互独立，则所得估计的方差为原来不分段时的。缺点是点数减少，分辨率进一步恶化。,修正周期图法(分段平均)(Welch，1967),为改善点数减少恶化频率分辨率的缺陷，常对数据进行交叠分段，并进行功率谱平均，如下图：,9,现代谱估计,数学基础：以随机过程或信号的的参数模型为基础，又称为参数模型法或参数法。主要发展：从非工程领域(如实验数据和观测数据的处理、统计学)的时间序列分析到工程领域的现代谱估计；现代谱估计始于上世纪60年代，主要经历了以下阶段：线性预测滤波最大熵谱估计(Burg,1967)自回归(AR)谱估计方法(1968，Parzen)Pisarenko谐波分解多重信号分类算法(MUSIC,1981，Schimit)HOS方法,10,功率谱估计的参数法（现代谱估计）,AR模型(全极点模型)MA模型(全零点模型)ARMA模型,11,任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。,任何有限方差的广义平稳过程可以分为完全随机的部分和确定的部分，完全随机部分对应的功率谱为连续；确定的随机过程完全可以通过过去无限个取样值加以预测；任何ARMA过程或AR过程可以用无限阶的MA过程来表示；任何ARMA过程或MA过程可以用无限阶的AR过程来表示。,谱分解定理及其推论是参数法谱估计的理论基础,12,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,第五章随机信号的功率谱估计,13,AR模型参数估计法的功率谱估计：,基本原理：根据随机采样样本x(0),x(1)x(N1)估计随机时间序列的功率谱密度：,求解方法(分三步)：模型阶数p不确定时数学上很难处理，因此先假定p，求模型参数。阶数p已知时，对模型两边同求某种统计特征以将随机变量转化为确定性的量。,14,对各种阶数下的模型进行比较，应用某种准则估计选择最好的模型(得阶数p、ak及)。,AR(p)模型的Yule-Walker方程组：,15,功率谱估计步骤：,16,AR模型阶数的选择：阶数对估计性能的影响阶数选得太低，功率谱被平滑太厉害，无法分辨真实峰(P130图4.3)；阶数选得太高，谱分辨率提高，但产生虚假峰(P130图4.4)。也可用以下matlab源程序验证：N=512;Nfft=1024;Fs=2*pi;n=0:N-1;xn=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+randn(size(n);order=10;figure(1)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title(BurgAlgorithm,p=10)order=100;figure(2)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title(BurgAlgorithm,p=100)选择方法：实验方法：观察拟合误差法。分析方法：最终预测误差（FPE）准则。Akaike信息准则（AIC）。判别自回归传输函数（CAT）准则。,17,定义：最终预测误差,N为观测数据长度。使上式最小化的阶数k即为最优阶数最优阶数。FPE准则得到模型阶数一般偏低。,(1)最终预测误差(FinalPredictionError,FPE)准则,(2)Akaike信息准则(AkaikeInformationCriteria,AIC）,使上式最小化的阶数k即为最优阶数。AIC准则得到模型阶数一般偏高。,(3)判别自回归传输函数准则(CriteriaAutoregressiveTransferFunction,CAT),18,估计性能：精确分析很困难，只能给出大样本理论的近似关系。估值的均值（N，p）：估值的方差（N，p）：,最小化上式得最优阶数。,19,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,20,性质1：隐含着自相关函数的外推,估计功率谱与自相关函数的关系：令：利用谱分解定理，并考虑功率谱与自相关函数的关系：,21,22,结论：AR谱估计是将有限个自相关函数值按照Yule-Walker方程进行外推后进行傅立叶变换得到的结果。由于AR谱估计将自相关函数进行了外推，克服了经典谱估计方法加窗导致分辨率低和旁瓣“泄漏”的问题，因此，AR谱估计有高的分辨率。,23,性质2：与最大熵谱估计等效,最大熵谱估计的提出(Burg)：经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏”的问题。其根本原因是自相关函数加窗，这样克服这些问题必须对自相关函数进行外推。Burg提出以最大熵作为自相关函数外推的准则，其合理性在于这样处理后，时间序列的随机性最大、对自相关函数的约束最少、功率谱最平坦。,信息熵(Entropy)是信息论中的一个非常重要的概念，是信号含信息量的度量，表征了信息发生的随机程度。信息量：事件X，事件发生时(概率)，包含的信息以e为底的信息量单位为nat(奈特)；以2为底的单位bit(比特),24,信息量的以下几个性质是显然的：,熵：平均信息量称为熵，记为H(X),设X为连续型随机变量，则：,25,26,已知共2p+1个样本相关函数，使,问题：求,与相关函数相匹配,27,与AR功率谱等价,实际上，由Fejer-Riesz定理(证明需用泛函知识)：,若，则一定可以找到一个满足,而且若的根全部在单位园内，则A(z)是唯一确定的。故有：,28,更深一步，功率谱(spectrum)和倒谱(cepstrum),与ARMA功率谱等价,29,结论：AR谱估计相当于对自相关函数以序列信息熵最大为原则进行外推后进行傅立叶变换的结果；AR谱估计相当于在p+1个自相关函数值确定的情况下，以功率谱密度最平坦为准则得到的估计结果；AR谱估计相当于在p+1个自相关函数值约定情况下，以功率谱熵最大为准则得到的估计结果。,性质3：与最佳线性预测谱估计等效,最佳问题的定义：,最佳线性预测谱估计：用随机时间序列x(n)前p个时刻的值的线性组合来预测当前值，即：,30,最佳线性预测滤波器权系数等于AR模型参数，最小预测误差功率min等于AR模型中激励噪声方差2。上式还与AR(p)模型的Yule-Walker方程组相同。若二者自相关函数相同，则解必然相同。,线性预测结果：,预测误差滤波器：,31,结论：AR谱估计相当于用时间序列前p个时刻的值在最小均方误差准则下来预测当前值并作为外推后值进行谱估计的结果。预测误差滤波器传输函数A(z)是模型参数确定的最小相位多项式。,性质4：等效于输入序列的最佳白化处理,AR模型的输入信号为白噪声，线性预测相当于AR模型的逆系统模型；AR谱估计与最佳线性预测谱估计等效，若最佳线性预测输出的误差信号接近于白噪声，则AR谱估计与输入序列的白化处理等效；通过“谱平坦度”衡量误差预测滤波器输出的误差信号的白化程度。,32,谱平坦度：随机时间序列x(n)的谱平坦度定义为：,问题的描述：预测误差滤波器A(z)为最小相位滤波器，输入时间序列x(n)经线性预测后的输出误差序列为e(n)，求解以下优化问题：,33,问题的求解：,若要使e最大，则Re(0)要最小；预测误差谱平坦度最大(白化度最大)等效于预测误差功率最小；AR谱估计器等效于对输入时间序列的白化处理。,34,结论：AR谱估计等效于预测误差最佳白化处理；根据预测误差的白化程度可以判断时间随机序列对AR(p)模型的符合程度。,AR模型法谱估计主要性质小结：相当于根据Yule-Walker方程组对自相关函数值外推后进行傅立叶变换的结果；相当于对随机时间序列以最大熵准则外推后估计信号的功率谱密度；相当于对随机时间序列以最佳线性预测外推后估计信号的功率谱密度；估计的功率谱密度是有限数量自相关函数值条件下最平坦的功率谱密度；功率谱估计等效于对输入时间序列进行最佳白化处理。,35,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,36,关于YuleWalker方程组的求解：求解AR(p)模型的Yule-Walker方程组的常规方法运算量大（p3级）；计算结果仅为p阶模型的参数；Yule-Walker的系数矩阵很有规律性，可以构造迭代算法进行递推求解，以减少计算量。设已经迭代求得了AP(k)模型的参数：,需要用AP(k)模型的参数求出AP(k1)模型的参数：,37,也就是说，已知k步的参数满足（条件方程组）：,需要求解（k+1）步目标方程组的参数：,38,为此，由条件方程组构建扩大方程组：,将扩大方程组与目标方程组比较，发现模型参数缺少一个自由度，故利用Toeplitz性质再由扩大方程组构造一个预备方程组，为增加自由度创造一个条件：,39,预备方程组：,目标解由扩大方程组的解和预备方程组的解线性表示，即构成模型系数的迭代关系式：,反射系数,40,显然，方程组间的右边列矢量也满足对应的线性关系，由此得到模型参数的迭代关系式，即：,小结：(1)Y-W方程组求解的L-D算法过程是一个从AR(1)到AR(p)的迭代过程；(2)迭代计算需要或可获得p组模型参数(包括系数和噪声方差)；(3)利用模型参数可估计对应阶AR模型的时间序列功率谱。,41,设已经得到AR(k)模型的参数，迭代求AR(k+1)模型参数的步骤共6步：,42,L-D迭代算法的实现流程图：,43,44,45,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,46,47,48,49,50,格型滤波器的递推流程如下图：,51,52,53,AR模型法的稳定性和功率谱估计界：,稳定条件：一般自相关函数没有误差时能自动满足H(z)的极点都在单位圆内1222p20|k|1，k=1,2p,谱估计的界：Burg证明了AR谱的动态范围满足：,任何一个反射系数i接近于1时，上界变大，下界变小。具有大反射系数模值的AR过程，其谱一定具有尖锐的峰。,54,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,55,问题的提出：Levinson-Durbin算法要先估计出几个自相关函数值，而自相关函数的估计是有偏估计，这将导致AR模型的估计精度降低，是否有其他办法提高AR模型的估计精度？Levinson-Durbin算法要先算自相关函数值，可否直接利用随机采样样本提取AR模型参数的方法？问题的定义：怎样根据x0,x1xN1这一随机采样样本估计随机时间序列的AR(p)模型参数？,56,主要思想：AR模型法谱估计与最佳线性预测滤波等效。AR模型的参数与线性误差预测滤波器的单位脉冲响应相同：E(z)=A(z)X(z)。对于平稳个态历经随机时间序列，可用时间平均代替集平均。AR模型参数的提取可化为以下优化问题：,57,实际上，由于输入时间序列的样值有限，其自相关函数矩阵只能通过取样自相关（时间平均）进行估计，并按误差平方时间平均最小准则进行模型参数估计（提取）。构造的方式决定不同的参数提取算法：Y-W法（相关法）；协方差法；Burg法（前两种方法的结合）。,58,Yule-Walker法（自相关法）：误差平方时间平均最小准则：,Yule-Walker法（自相关法）计算的示意图,59,估计结果：,60,61,相关法的性能：取样自相关矩阵是正定的，能保证系统的稳定性；求时相当于对时间序列进行了加窗处理（前后均补0），因此，估计精度不高。,未对数据两端加0(未加窗)，对观测时间以外数据不做任何假设。,协方差法：,62,性能特点：求时没有对随机信号进行加窗处理，因此估计精度较高；自相关矩阵不一定正定的，不能够保证系统的稳定性。,63,例：试根据信号的4个取样值x(n)=2,4,1,3，分别用自相关法和协方差法估计AR(1)模型参数。例4.1（教材P143）,解：(1)自相关法,64,(2)协方差法,(不外推添0),(不外推添0),65,66,Burg法：概述：自相关法：计算效率高，能保证预测滤波器是最小相位，但对数据两端添加了0（加窗处理），估计精度下降，短数据时性能下降。协方差法：计算效率高，未加窗，估计精度高，但估计自相关矩阵不一定正定，导致预测滤波器不是最小相位系统，可能不稳定。Burg法的思想：一方面希望利用已知数据段以外的未知数据（但不做主观臆测）；另一方面使预测误差滤波器是最小相位的。不直接估计AR模型参数，先估计反射系数，再利用Levinson递推算法由反射系数求得AR模型参数。,67,误差平方时间平均最小准则：,Burg法前后向预测误差产生原理图,参数计算方法：利用Levinson-Durbin迭代算法以及格形滤波器预测误差的迭代关系式，在已知p-1阶模型参数的情况下，只要求出p即可求出p阶模型参数。,68,69,70,设已知有限数据序列x(n),n=0,1,N-1，可按下步骤计算模型参数系数，并在此基础上计算功率谱。1.置k=0,计算初值：,2.k=k+1,计算反射系数：,71,5.计算k阶预测误差功率：,6.回到步骤(2)-(5),进行下一次迭代。,4.计算前、后向预测误差：,3.计算滤波器系数：,72,算法修正：如果处理数据来自AR过程，则可获得精确的结果，同时系统的稳定性也有保证。如果处理的是正弦信号会遇到一些困难，例如：谱线分裂、谱峰位置受相位影响大等。为了减小相位的影响，可对反射系数估计公式进行如下修正：,其中：wp(n)为某一非负的窗函数。,73,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,74,问题的提出：AR谱估计对观测噪声比较敏感：噪声会使谱峰展宽，分辨率下降。噪声会使谱峰偏离正确位置。在信噪比低的情况下，AR谱估计不会优于周期图方法。研究怎样减小噪声对AR谱估计的恶化影响？,假设x(n)是一个AR(p)过程，为与x(n)不相关且方差为的白噪声，x(n)与混合相加后得到y(n)，即：,噪声使AR(p)过程变为ARMA(p,p)过程！,75,减小噪声对AR谱估计影响的方法：使用与实际序列相符的ARMA(p,p)模型进行谱估计方法；对数据进行滤波，使用维纳滤波器进行波形估计以减小噪声；补偿自相关函数或反射系数估计中噪声的影响：,采用髙阶AR模型：ARMA(p,p)模型可用AR()模型描述；,76,AR(p)模型谱估计总结：AR谱估计由于对随机采样数据进行了外推，因此得到了比经典谱估计方法高的分辨率，同时能够较好地调和偏差和方差之间的矛盾。几种常用的现代谱估计方法，例如：最大熵谱估计、线性预测谱估计和AR谱估计等，本质上都是线性外推的思路，因此是等效的。AR模型可以用三种方法等效地表达：自相关函数值、AR模型参数以及反射系数。在自相关法、协方差法和Burg法三种AR模型参数提取方法中，自相关法的性能稍差些，其他两种方法的性能相近。AR谱估计方法对噪声比较敏感，可以从四个方面减小噪声对AR谱估计结果的影响。,77,78,作业：p162习题4.5、4.26（认真练习）,79,AR谱估计计算机仿真举例：,设有两个AR(4)模型的时间序列：宽带序列：x(n)=1.352x(n-1)-1.338x(n-2)+0.662x(n-3)-0.24x(n-4)+窄带序列：x(n)=2.760 x(n-1)-3.809x(n-2)+2.654x(n-3)-0.924x(n-4)+试分别通过自相关法、协方差法和Burg法提取模型参数，进行功率谱估计，并与实际功率谱比较。要求：每个采样样本的长度为256；每次产生50个采样序列，分别估计出功率谱密度，然后将这50个结果重叠画在一幅图中以观察方差的大小，同时将这50个结果的算数平均均值（虚线）和x(n)的实际功率谱密度（实线）画在另一幅图中以观察偏差的大小。,80,实际的功率谱PSD,宽带序列功率谱仿真（自相关法）,81,宽带序列功率谱仿真（协方差法）,宽带序列功率谱仿真（Burg法）,82,窄带序列功率谱仿真（自相关法）,窄带序列功率谱仿真（协方差法）,83,窄带序列功率谱仿真（Burg法）,仿真演示,84,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计,85,AR模型法谱估计的要点：AR谱估计与几种常用的现代谱估计方法等效，例如：最大熵谱估计、线性预测谱估计等，其本质上都是线性外推的思路。AR模型可以用三种方法等效地表达：自相关函数值、AR模型参数以及反射系数。AR(k)和AR(k+1)模型的递推关系：模型参数迭代关系的Levinson-Durbin算法；预测误差迭代关系的格形滤波器。在自相关法、协方差法和Burg法三种AR模型参数提取方法中，自相关法的性能稍差，其他两种方法的性能较好且相近。,86,ARMA模型的分类：p阶AR模型：全部为0。q阶MA模型：全部为0。ARMA模型一般形式：和都不全为0。,87,任何ARMA(p,q)模型可用某一AR()模型描述：,AR模型法谱估计可能遇到的问题：当随机时间序列符合MA模型或ARMA模型时，若用AR模型法进行谱估计，要想获得高的精度，模型阶数要很高，由于随机采样样本是有限的，这样就容易出现虚假谱峰。,因此，有时采用MA或ARMA模型法是必要的！,88,ARMA模型法：,问题分析：根据x(0),x(1)x(N1)这一随机采样样本通过ARMA模型估计随机时间序列的功率谱密度。,求解目标：模型阶数p和q。模型参数ai，i=1,2.p、bj，j=1,2q和白噪声的方差2。时间序列x(n)的功率谱S(z)。,89,求解方法：模型阶数p和q不确定时数学上很难处理，因此先假定p和q。对模型两边同求某种统计特征以将随机变量转化为确定性的量。对各种阶数下的模型进行比较，应用某种准则选出最好的模型。,根据随机采样样本求ARMA(p,q)模型的参数：,其中：h(n)为ARMA模型系统的单位脉冲响应。,90,将上式第二个方程写成展开形式（p个方程）：,求出后估计下图的功率谱密度Sv(z)：,AR模型的逆系统,两种等效的意义：1.求解模型参数；2.自相关外推。,91,注意：当p+q相对于采样时间长度N较大时，求AR模型参数的方程组中的自相关函数估计值不准确，得不到参数好的估计。需要改进，改进的方法采用“最小二乘法”：,92,模型阶数p+q的选择：用逆滤波器A(z)/B(z)对X(z)进行处理，判断输出信号U(z)与白噪声的符合程度来选择模型阶数。式中，M为某一常数。具体的值可以根据逆滤波器A(z)/B(z)冲激响应的有效长度来选择。,93,MA模型法：,问题分析：根据x(0),x(1)x(N1)这一随机采样样本通过MA模型估计随机时间序列的功率谱密度。,求解目标：模型阶数q；模型参数bi，i=1,2q和白噪声的方差2；时间序列x(n)的功率谱S(z)。,94,根据随机采样样本求q阶MA模型的参数：,求解方法：先假定q，求模型参数。对模型两边同求统计，将随机变量转化为确定量。比较各种阶数下的模型，选出最适合的阶数。,95,两个特点：m小于等于q时R(m)正比于系统脉冲响应b(n)和b(-n)的卷积；m大于q时R(m)等于0(有截尾)。,即：MA模型法不需要估计模型参数bk，而只要根据已给数据估计出|m|q时的自相关函数值即可得到功率谱估计。,模型阶数q的选择：利用m大于q时R(m)=0来选择模型阶数。,MA模型法谱估计与自相关法、周期图法谱估计等效！,96,第五章随机信号的功率谱估计,功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的LevinsonDurbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计（功率谱估计的应用）,97,研究的意义：估计淹没在噪声中的正弦波的频率，是信号处理中最有实际应用价值的技术之一。,问题的定义：已知长度为N的随机采样时间序列模型为：其中：Ai、i是待估计的未知常数；i是0,2内均匀分布的独立随机变量；v(n)是均值为0，方差为2的高斯白噪声。根据这N个随机采样样本估计i，i=1,2.M。,98,99,正弦分量频率与时间序列功率谱谱峰位置一致。,100,根据噪声中的正弦分量频率与功率谱谱峰一致的原理，将“正弦+白噪”序列作为待估计功率谱的时间序列，估计其功率谱，找出谱峰位置，则完成频率估计。一般谱估计方法：(1)周期图法特点：简单、易操作；缺点：分辨率差，频率接近时无法分辨。(2)AR模型法特点：频率分辨率高；缺点：对噪声和正弦波的相位敏感，容易引起谱峰移动。(3)修正协方差法特点：对噪声和正弦波相位不敏感，频率估计分辨率高。,101,修正协方差AR谱估计：由前面的分析可知，AR模型参数提取视以下优化问题：,修正协方差AR谱估计的最优准则与Burg法相同：,前后向预测误差产生原理图再次列出如下图：,102,103,与Burg法的主要不同：不是通过反射系数求解模型系数，而是直接求取；输入序列被假定为复数序列，求自相关矩阵是复数运算。,修正协方差法性能分析：高信噪比时，频率估计是无偏估计，方差接近Cramer-Rao极限；低信噪比时，估计性能很差，出现偏倚，方差很大；低信噪比频率估计的改进方法：适当增加AR模型的阶数。,基于特性分析的频率估计方法：最大似然法：噪声是高斯白噪声。特征分解法：基于自相关矩阵中正弦波信号和白噪声相互关系的性质。,104,最大似然法：,为简化，先考虑x(n)中只含一个复正弦信号的情况：目标函数：求解方法：,105,106,重要结论：在白噪声中含有单个复正弦信号，其频率的最大似然估计是输入数据序列的周期图的最大值所对应的频率。即：,107,更一般的情况：设x(n)中有M个复正弦信号：目标函数：求解方法：,108,求解结果：,109,重要结论：非线性高维搜索，计算量大。当白噪声中有多个复正弦信号时，最大似然估计容易陷入局部极值点，难以得到好的估计结果。如果各正弦波的频率能用输入数据序列的周期图进行分辨，那么最大似然估计结果将对应于周期图各最大值所在的频率。,110,特征分解频率估计法：问题分析：（1）在低信噪比情况下，AR谱估计结果不理想，为了提高谱估计结果的精度，要降低噪声的影响。（2）通过研究信号和噪声的特性及其关系，可能找到估计白噪声中正弦波频率的其他思路。解决办法：估计自相关矩阵是功率谱密度估计的基础，几乎所有AR谱估计方法都要用到自相关矩阵。因此，通过