最优控制--极大值原理.ppt

第三章极小值原理及应用,经典变分法缺陷：,1、应用前提：a、控制量u(t)的取值不受任何限制，没有任何不等式约束。,b、f、L、,等函数对其自变量有充分可微性。,2、实际控制要求：,a、控制量u受不等式约束，如：,，i=1,2,3,b、性能指标有时并不完全可微,如：燃料最优控制：,若采用经典变分：,若采用经典变分法：,不再适用，求不出解来,实际应为,极小值原理,若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值原理与经典变分法，所得,结论一致。,一、极小值原理：时变系统,时变受控系统,，其中控制向量,，,为容许控制,域，U(t)是在,内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始,转移到末端,，,满足约束：,，,未定，,并使性能指标达,到极小值。,设,和,是如上J为最小的最优解，,为最优状态轨,为0的n维向量,，满足:,1、规范方程：,2、边界条件：,线，则必存在不,3、与,对应的哈密顿函数H取极小值。,即:设,为满足,状态方程和协状态方程的最优解。,在中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条,使得,仅看作U的函数时也取最小值。,极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行,二、极小值原理的意义：,1、容许控制条件放宽,变分法：在整个控制域，对U没有约束,有时计算不易。,极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。,变分法仅为极小值原理的一个特例。,件为,证明，省略。,且即使U不受限制，,2、最优控制,使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。,这一原理是苏联学者,“庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。,在证明过程中：,与H得符号与这里所定义的相反。,所以有的文献中也称为“极大值原理”。,3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。,4、极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。,即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。,一般:对于实际系统有最优解有唯一解最优解,三、几种边界条件得讨论：,上面所讨论的是,和,已知。,受约束，,自由的最一般,情况。若,和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。,1）,已知，,边界条件为：,2),给定，,自由，,未给定，,边界条件：,确定,3),已知，,给定,末端受约束,边界条件为:,若,自由:外加:,四、例题分析:设一阶系统状态方程：,x(0)=5,控制约束:,试求使性能指标:,为极小值的最优控制及最优性能指标,解:定常系统,固定,末端自由问题,根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小,所以,由协状态方程:,由横截条件:,显然:当,时，,产生切换,所以,由x(0)=5代入,得,所以,令t=0.307可得0.307t1时x(t)的初始条件:,解得,所以,将,代入J可得:,例2:,求,a)对U没有约束b)|u|,解:a),0,解得:,b)|u|,由极小值原理:,当t=1时,在0,1区间,所以,五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论,用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及,1、线性定常系统：,固定，,包括,(与末端状态无关),则:,常数。,H中不显函t,自由，,沿最优控制轨线：,（与末端状态无关）,因为,中不显函t所以,常数,又因为,自由,2、对于时变系统：,固定:,自由:,，末端,若末端自由:,证明：见胡寿松P91页,第四节最小值原理在实际中的应用,几个典型例子：1.时间最优控制问题2.最小燃料消耗问题3.最小能量控制问题4.线性调节问题,介绍重点：时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）,一、时间最优控制问题,所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。这也是发展得最早的最优控制问题之一。,1、问题提出（时变系统）已知受控系统并设f和B对X(t)和t连续可微。,X：n1状态向量u：r1控制向量f：n1函数向量B：nr函数值矩阵,控制向量约束条件:,末端状态：g：p1维函数向量,目标函数：:自由,问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，目标函数J为最小,应用最小值原理进行问题的求解,步骤：列写哈密顿函数,由控制方程求u*(t),u有约束，H在u*上取得极小值，即：令q:r1维向量函数注：,则有：j=1，2r最优控制u*(t)是使为极小，则：,不定,可见：当时，有确定值，正常情况当时，不定，奇异情况,t,+1,-1,u*(t),奇异,我们仅研究正常情况u*(t)写成符号函数sgn形式则j=1，2r向量形式：u*(t)=-sgnq*(t)=-sgn,根据规范方程：,及初始条件和横截条件：,可求得x*(t)及,求最优控制u*(t),砰一砰控制,2、砰一砰控制定理：要求控制量始终为最大或最小设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t),是相应的状态轨线和协状态轨线。若问题正常(非奇异)，则这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制,3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：,如何确定最优控制u*(t)设线性定常系统的状态方程为：,其中，X：n1维状态向量u：控制变量A，B分别为nn，n1矩阵约束条件：末端条件：,求，使系统状态从转移到所用时间最短，即使为最小,问题的求解,首先列写哈密顿函数：,根据极小值原理分析可得：,有规范方程：,注：为标量函数，题意要求,代入得：,可见，的值完全由的符号决定但是，的确定是不容易的。因为它还和系统的状态变量有关系。通常采用的方法是：,先设一个，求出，求出，判定若为，则即为所求；否则修正重复上述过程,开关次数定理：设线性系统是正常的（不存在非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定时间最优控制存在，并令其为则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，n为系统的维数。,以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平于状态空间分析，求u*,例题分析1：时间最优控制问题,求u*(t),解：对象为二阶线性系统双积分模型的时间最优控制（应用最普通最广泛的一种）,由规范方程：,则,由,C1，C2的取值要求：保证,由开关次数定理知：切换一次，设切换时间为ts，则令为了求出ts，必须首先找出状态在平面上的转移轨线。,ts,tf,由,设u=1，则,则：,如图(a)所示，为一组抛物线，当K=0时经过原点pos,其中,t,s,p,0,X2,若u=-1，则,为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点NOT,X1,X2,u=-1,N,T,o,显然：若初始状态在NO或在PO上，可进一步转移到目标原点，称NOP为开关曲线,由题意假设它落在u=-1相应抛物线组中的一条上，即AQB，这时在u=-1的作用下，状态由沿AQB转移到B，进行切换，B位于PO上，一步可到达原点。,N,X2,o,p,X1,B,u=+1,u=-1,A1,1,因此，问题的解为:先以u=-1控制到达Po曲线上的B点以u=+1沿开关曲线Po到达原点从初始状态到达末端状态的轨迹为AQBO，即u*=进而，可求出转移时间ts及最优时间把状态轨线控制序列分成若干段，逐步算出所需时间，最后相加。求及ts在AQB段,u=-1,切换次数为1,-1,+1,到达B点：t=ts,BO段：u=+1，,当时，则,在B点应有：,联立求解：即：,例题分析2：二阶积分系统的最小时间控制系统,最小时间控制问题：求u*(t),使系统由初态,转移到末端状态的时间为最小，且满足,解：列写哈密顿函数：,求解协状态方程,设,，则：,确定控制序列：显然，由知，为一条直线，其形式有可能为4种,因此，u相应的控制序列为：-1，+1，-1，-1，+1+1,-1,-1,u,u,u,u,+1,状态轨线：由知，u有4种可能的取值，其值为1，代入状态方程：,注：,利用上式，消去中间变量t，可导出x1和x2的关系为：,其在X1，X2平面上为一组抛物线如图：u=+1为实u=-1为虚,X1,X2,B,A,u=+1,u=-1,确定开关曲线：使系统状态直接回到末端状态的曲线AO和BO总的开关曲线：AOB显然：,AOB将状态平面分为两部分和,显然：,X1,X2,B,A,O,u=-1,确定最优控制作用u*u*与初始状态有关,分析：若位于BO上，则u*=+1；若位于AO上，则u*=-1；若位于内，则u*=-1，+1；若位于内，则u*=+1，-1；,在开关曲线上为转折点,例3：升降机的快速降落问题：设有一升降机W，它的质量为1，升降机一方面受重力g的作用，另一方面受控制器的作用力u(t)的作用，且（Mg是常数）设x(t)为升降机离开地面的距离，当t=时，离地面距离垂直运动速度,问题：求u*（t）,使升降机最快的到达地面，并且到达地面时的速度为零。即：,最小，自由,W,u,g,X(t),解：建立升降机系统的数学模型，F=ma即：,令：,即：,哈密顿函数：,显然，为了使H为最小，则,即：,不确定,协状态方程：即：常数,相应于的4种可能，u*的取值有4种可能+M，-M，+M,-M，-M，+M因此，下面只研究u=M时升降机的状态轨线,设u=M，则状态方程为：/：是一组抛物线，图中实线箭头表示状态运动的方向,在此族曲线中，只有到达原点，,设u=-M，同理可得：如图虚线所示,只有到达原点，,开关曲线,r将相平面分为两部分，在r下半部的记为，包括在r上半部的记位，包括,u*只取+M或-M，切换最多一次，因此可得到结论：,初始状态在上，状态沿回原点,当在曲线上时，状态沿回原点当时，沿相应的虚线抛物线运动到时，沿回到原点。,马上切换,当时，沿相应的实抛物线运动到时，,马上切换,总之：,，沿回到原点。,对于实际问题升降机的分析：它在地面之上，处于相平面的右半部分，且设,a若，而时状态沿实抛物线运动与轴交于N，这意味着升降机到达地面时，速度不为0，不合要求。,当即开始以最大推力向下最用，使升降机尽快下降。当其状态检测到达时，马上改变控制，使它以的最大推力向上作用，这样升降机将以速度0到达地面。,N,从上例可以看出：快速最优控制有如下特点：u*要么最大，要么最小。u*的取值经过有限的（n-1）次（可为最多次）数切换可到达平衡点。u*的取值仅在开管曲线上切换。,注意：时间最优控制的应用中，有些实际问题并不要求将相点控制到状态空间原点，而是到某一集合，其分析方法与上类似（若二阶系统为一般的二阶系统，特征值为实数时，分析方法类似；为复数或纯虚数时，开关次数定理不成立，问题较为复杂，如无阻尼振荡二阶系统。,二、燃料最优控制问题,节约能源，减少燃料消耗在国民经济各部门中都是一项重要的技术经济课题。在航空和宇航中使用的原料是由地面起飞时带到空间去的。在空中携带的燃料是有限的，要保证长时间的飞行计划，就希望空中的控制系统消耗的燃料最小，而燃料的消耗一般是和控制力u的大小成正比的。U有正有负。因袭燃料消耗的性能指标：也可以以升降机系统分析，只是相应于时间最优控制，要求到达地于所用时间最小，相应于燃料最优控制，要求达到目的地时所用燃料最小,1、数学描述以二阶级分模型的燃料最优控制为例,系统：约束：,要求：系统从初始状态转移到（0，0）使最小，给定。,解：应用极小值原理,正常：仅在有限个点上奇异：至少在一段时间t1，t2间隔内,正常：u*可取+1，-1，0随着t增大，u*在三个值上切换，是一种三位控制开关控制。奇异：不能用极小值，死区函数。,为使为最小，则使为最小,分析：若，则若使最小，则若，则若使最小，则若,由：,和相应的最优控制之间的关系：,显然，燃料最优控制也是开关式控制，控制器应为一个具有死区的继电器。,+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1,tb,ta,tf,和的计标,当时，,相平面上一组抛物线实线,当时，,相平面上一组抛物线虚线,当时，,以下两个图形画出了不同初始状态转移轨线,仅为进行分析：在处应满足：,相对于而言，点,相对于而言，点,=1,=0,=-1,1,1,a,b,=-1,=-1,a,=0,=0,=1,=1,b,b,a,-,在处应满足：,解方程可得，的值,习题：设系统为,求最短时间控制及最短时间,提示：开关曲线：,对于段，,对于段，,切换点为,A10,0),=1,=-1,B,ts,当t=ts时,BO段：u*=+1,当时，X1=X2=0，则：,在B点应有：,联立求解：,习题2分析：设线性状态方程为：边界条件：,容许控制为：求最短时间控制u*(t)及开关曲线（做出大致图形）,分析:根据最小值原理：,则：,切换周期为,当u*=+1时，,是一组同心圆，圆心为（0，1）,同理，当u*=-1时，可得：,只有NO右半圆及MO坐半圆弧能够到达原点，u*的切换周期为，曲线如图。,是一组同心圆，圆心为（0，-1）,箭头方向：以u=+1为例，当X21时，X1，X2当X21时，X1，X2所以箭头如图,当相点运动到或上的任意一点时,均可在相应的控制律u=+1或u=-1作用下，沿或最快地到达原点。,现在改查最优轨线的倒数第二段。设u*(t)的最后一次切换发生在上的A点，则倒数第二段的控制必有：u=-1，其最优轨线必为（0，-1）为圆心的圆弧。,由于时间持续不超过，故改圆弧的长度最多等于半圆，到达A点，发上第二段转换进而进入倒数第三段。,由于A点为上的任一点，因此A点形成以（-3，0）为圆心，1为半径的半圆。显然：是u=-1到u=+1的开关曲线，而则为u=+1到u=-1的开关曲线。同理可取：，一次类推，可得一系列圆弧，可谓开关曲线。,极小值原理的证明：,、基础证明：,针对定常系统,末端自由，,得出的极小值原理的结论，,二、对于时变系统,及,引入新状态变量的方法，将时变系统化为定常系统，利用定常系统极小值原理定理的结论进行证明。,等情况，可通过,极小值原理的应用（时间最优）,已知无阻尼振荡二阶系统的状态方程为：,其中,试求最优控制,使系统由任意初态,以最短时间转移到状态空间原点。,解：由极小值原理，可求取最优控制的必要条件为：,正则方程：,例：,边界条件:,极小值条件:,解协状态方程为：,所以,最优控制特点：,a、,只在某些孤立时刻为0，不存在奇异段，故,为砰-砰控制。,b、,的切换次数与系统阶数无关。,c、除首尾两端外，最优控制每隔时间切换一次。,下面分析开关曲线：,首先考虑相平等方程：,若则：,是一组(1,0)为圆心的同心圆。,若则：,是一组(-1,0)为圆心的同心圆。,方向如图：,显然，只有c=1及,两条曲线可到达末端而考虑到最优控制最优一段的时间,间隔，则最优轨线最后一段必位于下列两条半圆形开关线上。,当相点运动到,上的任一点时，均可在相应的控制律U=+1或U=-1作用下，沿,很快地到达原点。,现在考查最优轨线的倒数第二段。,设,的最优一次切换发生在,的A点，则倒数第二段的控制必为：,轨迹为(-1,0)为圆心的圆弧。考虑到第二段在时间上不大于。故设圆弧最多等于,半圆，到达,发生倒数第二段转换，进入倒数第三段。,最优控制在某曲线上进行切换的曲线称为开关曲线。,由于A点可为,上的任一点，所以,点形成(-3,0)为圆心，1为半径的半圆。,显然,:到的开关曲线,:到的开关曲线,同理：对亢于,可得：,依上述过程类推可得一系列圆弧:,开关曲线r将相平等分为两部分,所以,起点,的最优轨线,这些圆弧的全体构成了所求问题的开关曲线：,所以总的控制作用：,共转换四次。,EO弧:,回到终点。,DE弧：,(+1,0)为圆心，,为半径，交开关曲线于E。,CD弧:,(+1,0)为圆心，,为半径，交开关曲线于D,BC弧：,(-1,0)为圆心，,(-1,0)为圆心，,为半径圆弧，交开关曲线于C,AB弧：,为半径的圆弧交于开关曲线B,习题：已知线性定常系状态方程：,其中,求,使系统由任意初态,以最短时间转移到目标集：,习题：已知受控系统：,，目标集：,求满足约束条件的时间最优控制函数，求开关曲线,注：在时间最优控制中，我们知道：,可知：,之间的关系,由前分析知：,时，可由极值条件确定,，正常情况；,时，可为满足约束条件的任意值，为不定状态，异步情况。,但是，奇异状态并不表示时间最优控制不存在，只表明用极小值原理,不能确定最优解，需采用奇异最优控制方法，以下介绍：,若在区间,内，存在时间的可数集合:,即：,使得对所有的,均有：,则称时间最优控制是正常的。,若在区间,内，存在一个（或多个）子区间,，,使得对所有,，有,则称时间最优,控制异步。奇异区间。,如何判定系统是正常的，还是奇异的。,设计时间最优控制之前总希望知道问题是否有解？是否有唯一解？问题是正常的，还是奇异的。初次之外，我们还希望了解时间最优控制的共同特点和性质。,这种一般规律的认识和了解会有助于具体系统的设计计算。,然而：对任意的非线性系统和任意的目标集，没有明确结论。,对于线性定常系统，可以回答上述问题，（目标集假设为坐标原点）,至于线性时变系统及一般性目标集问题，只有其中的部分结论适用。,：已知线性时不变系统，,时完全能控的,求满足下列不等式或约束的r维容许控制向量U(t),由已知初态,转移到状态空间原点的时间最短,，根据极小值原理，,使系统,最优控制的必要条件如下：,或,为B的第j列向量,从上述必要条件出发，可得一些有用的结论：,当且仅当个矩阵,中至少有一个奇异矩阵时是奇异的。,证明：由已知条件：,由6式知，,否则10错,若问题正常，则对于给定的初协态,，可唯一确定砰砰控制,怎样知道是正常还是奇异呢？推证定理。,假定是奇异的，至少存在一段时间,使某,对所有,均成立：,由此：,考虑到A与,可前后交换顺序，则有：,令：,则关于n维待定向量,的代数方程组可写成：,所有,由于,为奇异矩阵，为使,，则,必为奇异矩阵，,即：,奇异控制问题的必要条件。可以证明其为充分条件,得证：,由设定理可进一步得出为正常得充分必要条件,：当且仅当,全部为非,奇异矩阵，则时间最优控制是正常得。,和得推证过程都没有设计到目标集，因此，不论目标集如何，只,要受控系统是线性时不变得，因此两个定理可用。,将满足得系统叫做正常系统。正常受控系统，其时间最优控制问题也是正,常得，对于正常问题，由下列存在性与唯一性定理。,若受控系统,是正常的，且时间最优控制存在，则最优控制,必定唯一。,证明：见“百年学书”p176页。,另外，我们知道，一个完全能控的线性定常系统：,必需满足,n:系统维数,若把系统表征为：,其中,控制分量,正常问题要求,都是完全能控。,即：,说明：每一个控制分量,均能单独使受控系统由任意初态在有限时间内转,移到坐标原点。,据此，常可很容易地判断问题的时间最优控制是否属于正常情况。,显然：一个输入完全能控的线性不变系统，其时间最优控制问题也一定是正常的。,燃料最优控制的一般情况，接,已知线性定常系统：,求最优控制,，使系统由任意初态,转移到目标集：,且使性能指标：,为最小，T未知。,分析：,若记：,为B的第j列向量，,则H种与U(t)由关的部分R(u)为：,根据极小值原理，,应使H或R（u）取极小，则：,求出：,这就是燃料最优控制。,如何判定燃料最优控制是正常还是奇异？,为正常得充分条件为,对所有j1，2，3，r，均有,其中,为奇异得必要条件为：对于某个或某些有：,证明从略,注意：在燃料最优控制中，区分正常情况与时间最优控制不同。首先：,对时间最优:系统正常时，最优控制问题一定是正常的。,2.对燃料最优：即使系统正常（,)，如果系统矩阵A是奇异得（A有零,特征值，即系统中含有积分环节），问题仍可能属于奇异情况。,只有当系统是正常得，且A有事非奇异矩阵，才能保证燃料最优控制有正常解。,3、另外（1）式为系统正常得充分条件，次条件不满足时，系统仍可能有正常解（有可能正常或有可能奇异）视初始状态而定。,1）试证明系统由初态：,2）欲求系统由初态X(0)最快地转移到终态,习题：设二阶系统,所消耗燃料为最小得最优控制,为：,2、二阶空间控制系统的状态方程为：,不等式控制约束,，试求使系统由初态,达到平衡状态,的最短时间最优控制。,关于“二次积分模型”的燃料最优控制问题的进一步讨论：,系统：,求,，使系统由任意初态（,）转移到状态空间原点，且使性能指标：,为最小值，T自由。,解：求解最优解的必要条件：,1）正则方程：,则：,2）边界条件：,3）极小值条件：,4）H函数变化率：,则：,仅在有限个点上为1，则正常；,在一段区间上为1，则奇异。,具体分析：,解协状态方程：,常数，,的不同，系统有可能为正常或奇异。,奇异情况：,若,，使系H的变化规律,成立，必有：,奇异。,无法用极小值原理求解。,当,时，,是时间的线性函数，这时至多有两个,点满足,正常情况,最优控制必为三位式控制，且至多有两次切换，候选解为：0,+1,-1,+1,0,-1,-1,0,+1,+1,0,-1,0，0,-1,0,+1由于结尾的三种控制序列不可能为最优,控制。,因为有状态方程知：是一组不通过原点的平行线或轴上的孤立点,所以可能的最优控制序列为：六种可能：+1,-1,0,-1,0,+1+1,0,-1,-1,0,+1,为了进一步分析燃料最优控制解的性质，转向相平等分析：,当u=+1,u=-1时，有初态转移到原点的两条轨线为：,及,轴将相平等分为四部分：,当系统初始状态位于不同区域时，解大不相同。,1）位于,上，,是唯一的燃料最优控制，且,位于,时，,时燃料最优控制，且时间最短,分析：,的可能选择：0,+1,-1,0,+1,分别计算