放缩法证明数列不等式[巧用放缩法解数列不等式]

放缩法证明数列不等式巧用放缩法解数列不等式 不等式与数列的结合问题，既是中学数学教学的重点、难点，也是高考的热点近年来的高考中，屡屡出现不等式与数列结合的证明问题笔者通过分析，发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，其放缩的目标一般是转化为特殊数列（利用特殊数列的可求和，可求积性质解决问题）下面例谈借用“放缩”转化为特殊数列求和的一些技巧与策略? 1 通过“放缩”转化为等差等比数列求和? 例1求证：11+112+1123+1n!2.? 证明：因为 1n!11222=12?n-1?.? 所以 11+112+1123+1n!? 11+12+12?2+12?n-1?=? 1-(12)?n1-12=2-12?n-1?2.? 例2 若nN?*，求证：12+23+n(n+1)(n+1)?22.? 证明：因为 n(n+1)? n+n+12=2n+12.? 所以 12+23+n(n+1)32+52+2n+12=n(3+2n+1)22=n(n+2)2=n?2+2n2(n+1)?22.? 评析：观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成等差等比数列，从而利用求和达到简化证题的目的? 例3 （xx浙江卷21题）已知数列a?n中的相邻两项a?2k-1?,a?2k?是关于x的方程 x?2-(3k+2?k)x+3k2?k=0的两个根，且a?2k-1?2?2k? (k=1,2,3,). () 求a?1,a?2,a?3,a?7;? () 求数列a?n的前2n项和S?2n?；? （） 记f(n)=12(|?sin?n|?sin?n+3)，T?n=(-1)?f(2)?a?1a?2+(-1)?f(3)?a?3a?4+(-1)?f(4)?a?5a?6+(-1)?f(n+1)?a?2n-1?a?2n?，求证：16T?n524 (nN?*).? 解：（) a?1=2; a?3=4; a?5=8时；a?7=12.? () S?2n?=a?1+a?2+a?2n?=3n?2+3n2+2?n+1?-2.? 证明：（) T?n=1a?1a?2+1a?3a?4-1a?5a?6+(-1)?f(n+1)?a?2n-1?a?2n?, 所以 ? T?1=1a?1a?2=16，T?2=1a?1a?2+1a?3a?4=524.? 当 n3时，? T?n=16+1a?3a?4-1a?5a?6+(-1)?f(n+1)?a?2n-1?a?2n? 16+1a?3a?4-(1a?5a?6+1a?2n-1?a?2n?)? 16+162?2-16(12?3+12?n)=? 16+162?n16,? 同时，T?n=524-1a?5a?6-1a?7a?8+(-1)?f(n+1)?a?2n-1?a?2n? 524-1a?5a?6+(1a?1a?2+1a?2n-1?a?2n?)? 524-192?3+19(12?1+12?n)=? 524-192?n524.? 综上，当nN?*时，16T?n524? 评析：此题第三小题中，通过观察结构特点，选择适当的放缩目标，把问题转化到求等比数列的和，从而能够判断大小? 2 通过“放缩”转化为用裂项相消求和? 例4 求证：11?2+12?2+13?2+1n?22.? 证明：因为 1n?21n(n-1)=1n-1-1n，? 所以 11?2+12?2+13?2+1n?21+1-12+12-13+1n-1-1n=2-1n2.? 评析：观察数列的构成规律，可以看成一个数列a?n=1n?2的前n项和，直接求此数列和较困难，但是可通过不等式1n?21n(n-1)=1n-1-1n，放大后，成易可求和数列? 例5 （xx全国卷22题）设数列a?n的前n项的和S?n=43a?n-132?n+1?+23,n=1,2,3,? (1) 求首项a?1与通项a?n;? (2) 设 T?n=2?nS?n,n=1,2,3,? 证明:ni=1T?i32.? 解：（1） a?n=4?n-2?2;? (2) 将a?n=4?n-2?2代入S?n=? 43a?n-132?n+1?+23，n=1,2,3,，得：? S?n=23(2?n+1?-1)(2?n-1),? T?n=2?nS?n=322?n(2?n-1)(2?n+1?-1)=? 32(12?n-1-12?n+1?-1).? 所以 ni=1T?i=32ni=1(12?i-1-12?i+1?-1)=? 32(12?1-1-12?n+1?-1)32.? 评析：本题利用裂项相消的方法，把322?n(2?n-1)(2?n+1?-1)分裂成32(12?n-1-12?n+1?-1)，从而可求和，再利用放缩技巧证明? 3 通过“放缩”转化为特殊数列求积? 例6 （xx全国卷20题）已知函数f(x)=x?3+x?2， 图1 数列x?n| (x?n)0的第一项x?1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(x?n+1?,f(x?n+1?)处的切线与经过（0，0）和（x?n,f(x?n)两点的直线平行（如图1），求证：当nN?*时，（) x?2?n+x?n=3x?2?n+1?+2x?n+1?;? () (12)?n-1?x?n(12)?n-2?.? 证明：（) 因为 f(x)=3x?2+2x,? 所以曲线 y=f(x)在(x?n+1?,f(x?n+1?)处的切线斜率k?n+1?=3x?2?n+1?+2x?n+1?,? 因为过（0，0）和（x?n,f(x?n)两点的直线斜率是x?2?n+x?n，所以 x?2?n+x?n=3x?2?n+1?+2x?n+1?.? () 因为函数h(x)=x?2+x，当x0时单调递增，而 x?2?n+x?n=3x?2?n+1?+2x?n+1?4x?2?n+1?+2x?n+1?=(x?n+1?)?2+2x?n+1?，所以 x?n2x?n+1?，即 x?n+1?x?n12，? 因此，x?n=x?nx?n-1?x?n-1?x?n-2?x?2x?1(12)?n-1?.? 又因为 x?2?n+x?n2(x?2?n+1?+x?n+1?)，? 令 y?n=x?2?n+x?n，则 y?n+1?y?n12? 因为 y?1=x?2?1+x?1=2，? 所以 y?n(12)?n-1?y?1=(12)?n-2?,? 因此 x?nx?2?n+x?n(12)?n-2?,? 故 (12)?n-1?x?n(12)?n-2?.? 评析：本题第（)问的证明过程中，利用?x?n+1?x?n12，将数列x?n转化为x?n=x?nx?n-1?x?n-1?x?n-2?x?2x?1，从而变成可求积的问题? 用放缩法解决不等式与数列结合的证