10-分析动力学9-Kane方法（课堂PPT）

2,Page1,清华大学航天航空学院王天舒（tswang）,分析动力学之Kane方程,2,Page2,本节内容,建立动力学方程的方法：,牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力,是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？,第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导,第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程,Apell方程：引入伪速度，需计算加速度,如何取得最少变量：,笛卡尔坐标广义坐标广义速度伪速度,如何建立方程,2,Page3,偏速度：质点系,由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：,伪速度：,广义速率,偏速度,广义速率本质上为伪速度，标量,偏速度的作用是赋予广义速率以方向性，矢量。,伪速度可以看成是真实速度在偏速度上的投影。,2,Page4,质点系的Kane方程,质点速度的变分可以表示为：,虚功率原理：,定义广义主动力：,定义广义惯性力：,Kane方程：,各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0,将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。,2,Page5,牛顿方法,虚功率原理,变量(坐标)：,基本方程：,Kane方法,独立变量(伪速度),基本方程：,消去约束力，减少变量数,速度变分不一定独立,其中：,方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？,质点系Kane方程的基本思路,2,Page6,例1：质点系的Kane方程,广义速率：,质点的速度为：,偏速度：,主动力：,广义主动力：,2,Page7,惯性力：,广义惯性力：,例1：质点系的Kane方程,2,Page8,例1：质点系的Kane方程,2,Page9,偏速度：刚体,设刚体B上的P1,P2,PN点处分别作用有主动力F1,F2,FN。取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,uf。,设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：,刚体上的任意一点P的速度为,P点的偏速度为,刚体上任一点的偏速度可以表示为基点的偏速度的函数,2,Page10,广义主动力为:,利用体积公式,F是外力的主矢量Lo是外力的主矩,刚体的广义主动力,2,Page11,刚体的广义惯性力,广义惯性力为:,令,2,Page12,刚体的广义惯性力,2,Page13,刚体的广义惯性力,2,Page14,广义惯性力为：,当O与质心C重合时，,因此Kane方程为：,为了与广义主动力形式一样,广义惯性力写为,刚体的Kane方程,2,Page15,牛顿欧拉方法,变量(坐标)：,基本方程：,随体坐标系原点取在质心上：,虚功率原理,Kane方法,独立变量(伪速度),Kane方法的解题步骤：,广义坐标,伪速度,加速度,广义力,刚体Kane方程的基本思路,2,Page16,例2：刚体定点转动,解：设OXYZ为参考坐标系，oxyz为固连的主轴坐标系。,设外力对O点的力矩为LO。,以欧拉角为广义坐标。,设转动惯量矩阵为,刚体的角速度：,伪速度选为：,（这样选伪速度保证了广义速度的反解存在）,角速度用伪速度表示为：,因此，可以“看出”偏角速度为：,2,Page17,刚体的角加速度：,在动系oxyz中求导：,角加速度用广义速度表示会复杂得多：,角加速度在动系和惯性系中是一样的。,根据定义，广义主动力为：,由于,因此,例2：刚体定点转动,2,Page18,例2：刚体定点转动,广义惯性力为：,以r1为例进行计算：,因此得到,类似求出,代入Kane方程，得到,这正是描述刚体运动的欧拉方程,2,Page19,为什么会这样？,这的确是欧拉动力学方程。这可作为特例检验Kane方程是否正确。,例2：刚体定点转动,2,Page20,例3：非完整系统,两自由度系统,定义广义速率：,质心的速度：,角速度：,偏速度和偏角速度：,质心的加速度：,角加速度：,2,Page21,外力垂直于伪速度：,广义惯性力：,系统方程：,或：,例3：非完整系统,2,Page22,例4：复杂平面问题,圆盘在平面上运动，质量为M，对质心的转动惯量为JC。其上有光滑小槽，一小球通过弹簧可作相对直线运动。小球质量为m，弹簧系数为k，原长为l0。为方便设圆盘质心C在小槽中。试建立系统运动微分方程。,解：建立坐标系。选广义坐标q1,q2,q3,q4。,运动分析,2,Page23,例4：复杂平面问题,选伪速度,反解存在,则,求偏速度,2,Page24,例4：复杂平面问题,设系统所受力、力矩为：,弹簧力是内力，如何处理？,广义主动力为：,2,Page25,例4：复杂平面问题,广义惯性力力为：,2,Page26,例4：复杂平面问题,如何检验方程是否正确？,首先对方程进行量纲检查。,e1方向动量定理,动量矩定理,相对运动方程,e2方向动量定理,其次考察方程的物理意义。,2,Page27,例4：复杂平面问题,质心运动定理,非惯性系中的相对运动方程,达朗贝尔原理,等价,2,Page28,例4：复杂平面问题,2,Page29,例4：复杂平面问题,根据方程的物理意义，可能容易发现（用红色表示的）错误,（1）以系统为研究对象时，弹簧力k(q4-l0)是内力，在动量定理中不应出现。（2）在e2方向上应用动量定理，运动及外力均沿坐标正方向。（3）P点惯性力对C点取矩时，不应出现径向分量。（4）研究P点相对运动时，弹簧力是外力要出现。,2,Page30,例4：复杂平面问题,退化检查。,第1种情况，假设圆盘不动，只有小球相对运动,主动力作用在圆盘上，但怎样才能使圆盘不动呢？,这正是希望得到的结果。,但这是什么意思？,2,Page31,例4：复杂平面问题,第2种情况，假设圆盘作定轴转动，小球相对不动,这正是希望得到的结果。,质心运动的简单情况,与第1式不协调？,小球如何才能“相对不动”？或者是去掉弹簧，但在小球上作用一个力F1；或者不去掉弹簧，但k为无穷大且弹簧在原长位置。,2,Page32,例4：复杂平面问题,当然还可以有其它可能的退化情况。在退化的情况下，某个方程应该是我们事先所期望的结果，否则原方程就可能存在错误