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文档简介
拉梅公式的推导和应用,平面弹性变形问题,1引言,拉梅公式在工程力学中具有重要地位，尤其是在解决弹性力学的平面问题时，不失为一种理想的数学模型。前一部分给出拉梅公式的数学推导，用到了极坐标下的四类基本方程，即平衡方程，几何方程，本构方程，和变形协调方程。根据平面轴对称问题简化四类基本方程。再联合平面轴对称问题下的应力函数，得到平面应力问题的解。最后，根据厚壁问题的边界条件得到拉梅公式。后一部分介绍了拉梅公式在工程上的具体应用实例，并给出具体的数值计算。,2拉梅公式的推导,弹性理论是一类偏微分方程的边界问题1。所以边界的选择决定着工程问题求解的难以。一般要求坐标轴与受力物体的边界相重合，因此对于圆形、环形、楔形或者带小孔的受力物体选用极坐标会更容易解决问题。,2.1四类基本方程：,平衡方程：平面上的平衡方程的柱坐标不含z变量：,几何方程：,本构方程：,协调方程：,2.2极坐标应力公式,可以看到应力张量第一不变量与坐标选择无关。,2.3平面轴对称问题,平面轴对称问题中，应力不仅与z无关，而且与无关，因此，由公式可得柱坐标下的正应力为：,对于环向闭合的圆域或、环域，或者平板上的圆孔，方向上位移的单值条件要求B值为零。即B=0,求解平面轴对称情况下的协调方程可得：,3拉梅公式的应用,例1均压圆环或圆筒对于厚壁圆筒。内表面r=a处受压力pi，在外表面r=b处受压力p0，边界条件为：把式代入以上边界条件可解的：,将A和C代回中可得到拉梅公式，它适用于任意壁厚问题。,例2带小孔的等向拉伸平板，此种情况可以简化为pi=0，p0=-q，壁厚很大（b远大于a）的圆环。壁厚t远小于内径a，即t/a远小于1,此时拉梅公式可简化为薄壁筒公式。,4小结,拉梅公式有很广的用途，尤其是解决受均匀载荷的平面问题。但是拉梅公式也有其局限性。拉梅公式不适用的情况：筒所承受的内、外压强若为轴向坐标z的二次函数或更高次函数时，不适于用拉梅公式求解。除上述情况外,经理论分析和计算,筒的结构尺寸或所承受的载荷有突变之处
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